百科问答小站 logo
百科问答小站 font logo



蝴蝶定理有多少种证法? 第1页

  

user avatar   liu-yang-zhou-23 网友的相关建议: 
      

用射影几何中的交比性质,可以说是秒证。

蝴蝶定理

过圆内弦中点引出任意两直线被圆所截得到四个点,同侧相连,与弦相交得到两个点关于弦中点对称。

引理(交比不变性)

从同一点发射出四条直线,与另外两条直线相交,产生两组点列,它们的对应点构成的交比相等。

(复分析莫比乌斯变换中有复比的概念,是交比的推广)

交比的定义是:

引理也就是说:

证明

通过这个转化,我们发现交比只与这四条定直线的夹角有关,与动直线与四条定直线相交方式无关!

Q. E. D


我们称 点为射影中心,从映射的观点看, 被映射为 ,记该映射为 ,于是定理可以表述为:

有了这个引理的铺垫,下证蝴蝶定理:

证明

如图做辅助线。由圆周角定理可知: 和 是两个等价的射影中心,因为它们的对应角都是同弧所对的圆周角,于是它们的交比相等,即

将等式两边展开化简,立即得到:

Q. E. D


另外,蝴蝶定理很容易推广到圆锥曲线上,

利用圆的仿射性质(压缩):共线的线段之比(单比)经过仿射后不改变。利用射影性质等可以推广到其余二次曲线上。




  

相关话题

  数理特长生学医的话是人才浪费吗? 
  如何看待涉及悉尼大学数学系教授 Williamson 和美国国家科学基金会的学术不端事件? 
  为什么许多问题几何性质很明确,但却还要证明呢? 
  棋类和数学所涉的智商相同吗? 
  数学 PhD 有很多内容要学习吗? 
  数学中对于直线、平面的定义是什么? 
  没有基的线性空间,是否可以构造,如何构造? 
  如何证明“若整函数 f(z) 的值均位于右半平面,则f(z)恒为常数”? 
  相关系数和R方的关系是什么? 
  哪些伟大的数学家没有自己的传人或后代的? 

前一个讨论
如何理解「梅涅劳斯定理」和「塞瓦定理」,这两个定理在实际中有什么应用?
下一个讨论
你们理解的诗与远方是什么?





© 2025-05-05 - tinynew.org. All Rights Reserved.
© 2025-05-05 - tinynew.org. 保留所有权利