在微积分教材一开始直接引入 epsilon-delta 语言是否有利？ 第1页

不合适，非常不合适！抛弃了数学史的数学课本都会让初学者感到莫名其妙。

下面，我会用通俗的语言来告诉大家，当年柯西和魏尔斯特拉斯要弄出这么奇怪的 语言。

首先，假设我们忘掉微积分里的所有知识，考虑一个简单的二次函数： 。

现在让我们忘掉微积分，忘掉导数，如果让你求该函数在点 处的切线，你有什么好的办法？

如果你把这个问题丢给一个没学导数的初中生，他应该能反应过来：

切线不就是与该曲线仅有一个交点的直线嘛！

因为过点的直线方程为： 。

将其与二次函数方程联立： ，这步骤很简单，初中生都可以做到。

在这我顺便插一句话，我非常非常赞同 @xinggu 的这篇回答里的这段话：

初次讲解求抛物线 C 与直线 l 的公共点坐标，称职的老师会这样讲：“什么是 C 与 l 的公共点呢？就是既在 C 上，又在 l 上的点，所以它们的坐标应该怎么样呢？因为它们在 C 上，所以满足 C 的方程，又在 l 上，所以也满足 l 的方程。我们就有两个方程了，交点坐标满足这两个方程，对不对？也就是这两个方程所构成的方程组的解。大家想，是不是这样？那么有几个未知数呢？有一个横坐标x，还有一个纵坐标y。现在有两个方程，两个未知数，我们可以试着求解了... ”

当然了，关于方程 ，我们没必要去算它的解，我们先思考思考，这是一个一元二次方程，方程的解对应着直线与抛物线的交点的横坐标。

初中老师都教过我们， 关系到一元二次方程解的个数。如果 ，那么显然此时直线与抛物线有两个交点。

既然我们在寻找切线，那必然是只有一个交点的情形啦，也就是说，只要令 即可： 。

也就是： ，解得 。

将它画出来：

嗯，应该是这样！

但是！这种做法有一个漏洞……

就是大家看一下下图那条红色的虚线，也与抛物线仅有一个交点：

这就发现了，我们上面的推导是有漏洞的，之前我们假设切线的斜率是存在的，进而寻找与抛物线仅有一个交点的直线，可是偏偏这样一条斜率不存在的直线也与抛物线的交点仅有一个。

直观上，我们很难把这条红色的虚线也当成抛物线的切线，所以我们之前的：

切线不就是与该曲线仅有一个交点的直线嘛！

这句话是错误的，我们得重新寻找一个合适的定义切线的方式。

遇到困难的问题，我们得想想最基本的问题，看看它能不能给我们一些启发。最简单的例子就是圆的切线了：

我们回忆一下，如果一条直线与圆有两个交点，我们叫它“割线”，像这样：

如果我们稍微的动一动，不断地偏转直线，使得两个交点 、 不断的靠近一点：

我敢说，随着直线的偏转，使得直线与圆交点 、 慢慢变为一点的时候，直线也就从“割线”变成了“切线”。

所以，接下来，我们按照上面的思路，给出作抛物线的切线方式：

过抛物线上的一点 与另一点 作割线，再通过偏转直线的方法，使得 逐渐的向 靠拢，当 、 两点重合的时候，对应的直线就是切线。

还是回到刚刚的问题，下面我们用这个思路，求一下抛物线上任意一点的切线。

首先抛物线上的所有点都满足 的形式，不妨把它定为 点，再在抛物线上任选一非 的点 ，为了方便书写，不妨假设 的坐标为： 。

则这条割线的斜率 。

下面按照上面的思路，不断地让 点靠近 ：

（几何画板的点我不会写下标，所以我只能把原本的 写成 ）

首先化简： 。

随着 点逐渐的向 靠近， 的绝对值也越来越小，割线的斜率 也越来越趋向于真正切线的斜率，显然：

当两点重合，也就是是 变成 的时候，此时真正切线的斜率 。

取 ，则 ， 与我们之前的结果一样，这说明我们的推导应该是合理的。

当然了，这个方法不但比之前用 算方便不少，还更可以推广到更一般的情况。

对一个曲线来说，假设其方程为 ，那么首先算出其割线的斜率：

然后化简，最后再令 ，得到的结果就是它在 点切线的斜率。

我们把最后得到的这个玩意叫作 在 点的导数，如果再抽象一点，一开始就不设什么 ，纯粹的把它当成一个函数看，我们把它叫作函数的导函数，记作： 。

看上去很完美，不是吗？

但是！（又来但是了，但这真的是必不可少的）

这种新方法虽然一举解决了成千上万种曲线的切线问题，但数学家发现，这里面有一个很严重的逻辑漏洞！

我们回过头看一下，我们开始先列出式子：

这一步里的 显然是不等于 的，毕竟 不可以作除数。

但是下一步，我们又“出尔反尔”的令 ，得到最后切线的斜率是 的结论。

所以，这个 到底是不是 ？成为了当时数学家最纠结的问题。

以上灵感基本来源于张景中院士的《数学家的眼光》。

以上，是人类为什么要建立 语言的背景，你只需要知道建立这个东西就是为了补全微积分这摇摇欲坠的大厦。

从牛顿莱布尼兹建立微积分，到柯西与魏尔斯特拉斯真正打好地基，这之间一百三十多年无数数学家前赴后继。这段历史肯定没法讲，如果感兴趣，可以去看《微积分的历程》。

接下来我打算简单讲一下建立那么拗口的语言的合理性。

每次我给学弟学妹讲 和 语言的时候，我都会先举一个非常显然，但却不太好讲的例子：

为什么数列 的极限是 ？

我给学弟学妹讲这里的时候，为了更好的让他们理解，我就直接抛出这个问题

也见到了很多种说法

有的说：因为 随着 的增大会离 越来越近，

不好意思，反例是 随着 的增大也会离 越来越近，那你凭什么认为的极限是 而不是 呢？

立刻就会有人说：肯定不会是负数啊，因为当 时， 恒大于 ，所以的极限不可能是负数啊

不好意思，我会立刻举出一个新的例子 ，它就不是恒大于 ，但极限还是 .

之前的那伙人就说，这个例子 ，随着 的增大并不会离 越来越近啊

这个时候我会让他们停一下，纠结这些细枝末节的东西是没有什么意义的，你上面所举例的东西至多对一两个例子成立，我稍微换一个例子你就得换一套说辞，根本没有抓住最本质的东西。

能不能找到一种方法，直击要害，一网打尽所有的数列极限问题？

这样的对话一般会持续很久很久，在此过程中，我会不断地、反复地向他们强调，你们所举的原因只是特例，不是什么根本性的原因

我希望在这样辩论的过程中，让他们好好想想极限究竟意味着什么。

一般很久以后，才会有人一拍桌子：因为 随着 的增大，可以与 之间的距离任意小！

对了，关键就是这个任意小！

什么叫任意小？

就是说你随便取一个数，比方说 吧，则随着 大于 以后，与 之间的距离永远小于。

取 什么的都可以，总是在某一项之后，与 之间的距离要小于它们。

那就任取呗，反正就是看与 之间的距离是不是要多小有多小？

那随便取一个大于 的数呗，试试是不是某一项以后与 之间的距离都小于这个数？

哦，那就设一个希腊字母 ，假设这个 ，看看是不是某一项以后，与 之间的距离要小于 ？

再抽象一下，对任意的 ，是否存在一个 为正整数，当 时，使得 。

经过检验，发现是存在的，所以我们就认为数列 的极限是 。

总结一下： 实际上赋予了一种动态性。

其他数列同理，抽象一下我们给出数列极限定义：

对 ， 总， 当 时，有： 。

老实说，我觉得函数的 语言同理：

对 ， 总， 当 时，有： 。

PS：感谢 @tetradecane，确实是我疏忽了忘记提了。

关于 与 之间的距离要小于任意数，还有一个重要的思想是“一直保持下去”

什么意思呢？就是只有一部分满足是不够的，要自某一项以后，数列的每一项都满足这一条件。

比方说数列 与数列 组成的交错数列： ，

虽然它确实对任意的正数，在某一项以后，确实某一些项与 之间的距离可以任意小，但不能做到全部都与 之间的距离任意小，所以它的极限不是 。（当然了，事实上它没有极限）

如何解释第二次数学危机呢？

不就是算个极限嘛！就这？

就这？？？

对 ，考虑：

取 ，则当 时，有： 。

也就证明了： 。