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格林公式为什么不对称啊? 第1页

  

user avatar   dylan-dong-233 网友的相关建议: 
      

首先将Green公式的内容表述如下。


定理1(Green公式)设 是 中的有界闭区域, 由有限多条分段光滑曲线组成,若 , , 及 均在 上连续,则 其中 的定向为正向。


题主想说的,可能是右边的函数是“不对称”的,出现了一个负号。

但是事实上,注意到

因此公式 还可以写成 看,多对称呀。


在重积分理论中,有“三大公式”,还包括Gauss公式和Stokes公式。

事实上,Stokes公式也是非常“不对称的”。

首先将公式列举如下。


定理2(Gauss公式)设 是 中的一个有界闭区域, 由有限多个双侧的分片光滑曲面组成,定侧为外侧。又设 , 和 ,则


定理3(Stokes公式)设 是 中的一个双侧的光滑曲面,它由参数方程 给出,其中 , 和 ,边界 由有限多条分段光滑曲线组成。又假设存在开集 ,使得 , 和 。现选定 的一侧,并由此确定 的方向,则有


看上去右边是比较复杂的,但是公式 也可以被简化为 这便减小了记忆的难度。

事实上,定理1到定理3是可以有统一的表达式的。

这也可以解释为什么公式的右边会这么“复杂”。

以下这些内容是我们的数学分析课程上,老师所给的一些扩展,可以加深自己的理解。


一、微分形式

首先,对于 中的 , 和 ,我们可以定义“外积”运算 ,满足

(1) ;

(2) ;

(3) 。

注意到运算 并不满足交换律,这和我们之前在线性空间中所定义的外积有一定的相似之处。

接下来,设 , , 和 都是定义在 上的函数,我们先给出所谓的“微分形式”的定义。

(1)称 为 次微分形式,其相当于没有作微分运算;

(2)称 为 次微分形式,其是第二型曲线积分中出现的部分;

(3)称 为 次微分形式,其是第二型曲面积分中出现的部分;

(4)称 为 次微分形式,其是体积分中出现的部分。

在这样简单的定义之下,我们可以来研究一些比较特殊的运算。


二、外微分运算

接下来,我们可以定义外微分运算 ,满足对于 次微分形式,有 接下来,对于 次微分形式,记

则有

注意到此时右边便是Stokes公式右式中出现的被积函数。

再进一步,对于 次微分形式,记

则有

注意到此时右边便是Gauss公式右式中出现的被积函数。


三、三大公式的统一

在上面的定义的基础上,可以将三大公式写成一个统一的形式。

(1)对于Green公式,记

则可以将其简记为

(2)对于Gauss公式,记

则可以将其简记为

(3)对于Stokes公式,记

则可以将其简记为

注意到以上的公式,形式都是统一的,并且都是从低维向高维的过程。

事实上,这些公式都可以被认为是Newton-Leibniz公式的推广。




  

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