为什么现代数学经常会关心整体性质？能不能举例详细说说？ 第1页

因为整体的性质就在那里.

最早最早有局部-整体的想法应该是在复分析里面. 众所周知复数域是代数闭域，因此对任何复数 ，方程 都有解. 那么自然地就会想定义开方的运算. 但是这就带来了巨大的问题： 有两个解，应该选择哪一个？

在每一个点都随便选的话，得到的函数 都不一定连续，性质太差了. 那么在一个点的地方选择一个平方根，然后要求在“邻近”的地方保持平方根函数连续怎么样？局部上这显然是可以做到的，因为如果把复数写成 的形式，那平方根无非是 还是 的问题，只要是在一个非零的 处选择了一个，那么在这个 的很小的邻域上自然能选择同一个，而且这样选出来的平方根函数是解析函数. 但是，这样的选择一定不是整体的，因为考虑一个从正实轴上某一个点开始的逆时针绕原点一圈的圆，无论选择哪一个平方根，绕完这一圈之后回到正实轴，取出来的平方根恰好是另一个.

平方根都不能好好定义的话这个复分析理论有什么用？数学家为了解决这一略显神秘的问题提出了不同的方法. Riemann持几何的观点，提出解析函数不是定义在复平面本身上的，而是定义在复平面的一个覆盖上的. Weierstrass持分析的观点，提出解析函数其实是在局部上由收敛幂级数定义的. 而到了二十世纪，由这些观点衍生出来的层理论展现出强大的威力. 层理论本身就是解决一个问题：如何把局部的定义粘接起来成为整体的定义.

几何的观点远远不止在解析函数理论里面有效. 在求解不定方程的时候，同余式是一个简单但是有效的技巧. 为了能充分发挥同余式的威力，Hensel等人提出了p进数. p进数的本质就是同时考虑所有模素数p的方幂的同余关系. 如果模一个素数的方幂都没有解了，那原来的方程当然是没有解的；反过来，对于一些特殊的不定方程，逆命题也成立：

设 是一个有理系数的齐次二次型. 在有理数域上能取到0当且仅当在实数和所有p进数域上都能取到0.

这就是Hasse-Minkowski定理. 用代数几何的观点，模p的方幂就是在局部上考虑，而有理数解本身就是在整体上考虑. 局部上都没有解了的话整体上当然更没有，而每个局部上有解的话在一定的条件下这些解能够拼出一个整体的解. 在这种情况下研究整体的解才是天经地义的事情，本来就是要在有理数域上解方程.

对于一般的多项式不定方程，局部有解不能拼出整体有解. 但是所有的局部加起来，和整体本身之间的距离还有多少？在椭圆曲线的情况下，这就是在研究Ш群（Tate-Шафаревич）. Ш群的性质是BSD猜想中最重要的一部分.