复变函数中多值函数的黎曼面是不是不唯一？ 第1页

只说一下代数函数的情况，也就是由一个亚纯函数系数的多项式 的零点所确定的函数.(比如 是一个代数函数，它是由多项式 的零点所确定的代数函数.)

对于像 这样的多值函数，Riemann最早的想法，是用它的图像 来代替原先的ambiguous的定义域 ，它的图像 是 的一个1维全纯(复)子流形，也就是我们现在说的黎曼曲面，而原先的那个函数，可以看做是黎曼曲面上的一个函数，就是从图像往复平面上的投影 ， ,可以见得这样的投影是一个2 to 1的，其实更一般地，他是一个带有分歧点 的 -叶分歧覆叠(branched covering)，并且这是一个单值的局部共形的映射(除了分歧点那里)，.

那么很自然的两个问题，第一，是不是每个由 所确定的代数函数 都有一张黎曼曲面 , 以及一个分歧覆叠 ，使得 ? 第二，这个新定义域配上这个分歧复叠，真的可以很好地反映出原先的函数吗？也就是说，这种确定是唯一的吗?

事实上两个问题的回答都是肯定的，也就是下面这个定理^[1]:

Theorem [1]: 对于任一 次不可约多项式 ，存在着一张黎曼面 ，一个亚纯函数 以及一个 叶分歧覆叠 ，使得 ，并且这仨儿 在如下意义下是唯一决定的: 如果 是另一个符合条件的仨，那么恰好存在一个保纤维的共形映射 ,使得 .

这个 就叫做代数函数 的黎曼曲面.

他的证明，也就是对这个黎曼曲面的构造，如果用古老的观点来看，其实就是Karl Weierstraß的"整体解析函数"(Analytisches Gebilde).也就是在每一点 上，取那个代数函数在某一个branch上的全纯函数芽 ，然后再把这些germs给coproduct起来.

那么这样的黎曼面大致长什么样呢?比如对于根号函数 ，我们要强行的把他的定义域 给拆成一个单值化的定义域，我们剪完 之后，拎起一边，绕着0那点转一圈，再回来就可以了，这个已经不好画了，大致是这个样子:

并且可以看到，这样的投影是2 to 1的带0点的分歧覆叠:

我大二下学期的时候就想知道这些东西，而现在，我研二.

参考

1. ^ O.Foster, Lectures on Riemann Surfaces, GTM81