为什么条件收敛的级数重排后，即使收敛，也不一定收敛于原来的级数和？ 第1页

感想

极限这个东西，常学常新，总是一再挑战着人类有限的认知。

极限最特别的地方就在于它从不在乎眼下一城一池的得失，而是一切向后看。部分和永远可以交换求和顺序而不改变其结果，但是不同的顺序意味着部分和以不同的方式收敛到某个极限，抑或是发散。 收敛准则告诉我们，部分和之间的振幅能否被很好的控制，是收敛的关键，而收敛到什么地方，是由初始若干多项确定其大致方位（原始积累阶段），然后是后面无穷多项的波动确定精确的位置（微调阶段）。求和顺序不同，很可能会导致初始位置的巨大偏差，即便有后面无穷次的微调，也无济于事。这就是为什么求和顺序会影响级数结果。

如下证明充分利用了两点：

• 调和级数发散——总可以在有限步超过给定的非负数；
• 一般项趋于 0 ——部分和超过 的部分不断下降。

于是一个非常朴素的想法：多减少增，是使部分和围绕极限波动的手段。由此观之，此两点缺一不可，于是条件收敛级数的全部奥义被发挥到了极致。

例证

我们以下面条件收敛级数为例：

经过重排后，可以收敛到任意的

• 若 ，则

（证略）

我们知道前一个级数是发散至无穷的，后者是收敛的，所以

• 若 ，下面证明

存在 ，满足

其中 表示对奇数 求和， 表示对偶数 求和. 调和级数的发散性保证了 的存在性. 于是立即有

定义

存在 ，满足

立即有

定义：

重复以上步骤，且满足 我们会得到单调递增的正整数序列 ，与之相对应的，有重排后的 的部分和序列

（注意到按照上述方式排列所有的正整数都会不重不漏地列举出来）自然满足：

对于一般项 总是介于 ， 之间，设 介于 ， 之间. 从 至 具有单调性（不是奇数项的累加，就是偶数项的削减）. 于是：

结合 式有

所以接下来需要对 估计（ 同理）.

这个小于号成立是因为（下面将证明），这个求和的项数总是有界的，即 故而由 可得

于是以上构造的部分和序列 是一个收敛到 的 列.

最后证明上面的断言. 由 公式，

解得

由于 被严格控制，故

于是得到 式的估计

结论

综上，我们可以使得条件收敛的级数 经过重排后，构造了收敛到任意的 的部分和序列. 并且证明的本身也反应了顺序对于收敛极限的影响. 不局限于级数 ，对于一般的条件收敛级数该性质依然成立，这即是黎曼条件收敛级数定理.

代码

将上述过程编成的 语言代码：

       #黎曼条件级数定理特例的验证 #S = 1 -1/2 + 1/3 - 1/4 +... #给定极限A，画出前n项部分和序列 S <- function(n, A, cex = 0.5) {     ans = c()     plot(0, 0, type = "n", cex = cex, pch = 19,          xlim = c(0,n), ylim = c(A - 1,A + 1), xlab = "n", ylab = "Sn")     s = 0; i = 1; j = 1     m = 1    #偶数项     while(i <= n)    #奇数项自然增长     {             while(s <= A)             {             s = s + 1/j             points(i, s, cex = cex, pch = 19)             ans = c(ans, j)             j = j + 2             i = i + 1              if(i == n)return(list("近似值" = s,"换序结果" = ans))         }          while(s > A)    #偶数项的调整             {             ans = c(ans, -2*m)             s = s + 1/ans[i]             i = i + 1             if(i == n)return(list("近似值" = s,"换序结果" = ans))             points(i, s, cex = cex, pch = 19)             m = m + 1          }       }       return(list("近似值" = s,"换序结果" = ans))     }