有没有大神回答一下，级数中，比值判别法中的ρ是指什么？ 第1页

谢邀。

判定收敛的思路

判别任意级数是否收敛，都需要一把“尺子级数”来比较。

• 若这个“尺子级数”收敛，而原级数比“尺子级数”要小，那原级数收敛；
• 若这个“尺子级数”发散，而原级数比“尺子级数”要大，那原级数发散

这个本质上就是一个不等式放缩的思想。

比值判别法

比值判别法的尺子就是我们最熟悉的“等比级数”。下面我们利用这一点证明比值判别法的合理性。

命题

证：

由已知条件：级数后一项与前一项之比的上极限为ρ，即存在N>0，当n>N时，满足关系式：

选取满足ρ≤β<1的β

然后把上面的关系一项一项写出来，就有

也就是说，

而右边的级数是一个首项为a_N、公比为β的一个等比级数，并且公比小于1，于是等比级数收敛，那么原级数也绝对收敛。

Q. E. D

而我们十分清楚等比级数的性质：公比大于等于1的时候发散，公比小于1的时候收敛。我们求的不正是这个性质吗？

于是乎，

当ρ<β<1时，原级数收敛；

当ρ>β≥1时，原级数发散。（仿照上述方法证明）

很明显我们可以把β扔掉，它只是起到了不等号的传递作用。

注：其实我们可以把原级数看成“广义的等比级数”，ρ则是这个级数的“广义公比”，通过广义公比我们会了解这个级数收敛或发散的情况，于是ρ起到了良好的的指标作用。