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请问这道无穷级数题有什么巧妙的解法? 第1页

  

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计算


首先定义函数

类比黎曼的方法,将其与Γ函数相乘,即

我们可以对右侧积分稍作变换,并取 ,易得

现在考虑将右侧积分转化为以下形式

等号右侧让人联想到对生成函数的操作,即若

那么 ,其中 为指数型生成函数

当务之急求出这个积分,考虑复变函数

以联接原点无穷远点射线割线,划分出单值解析区域,我们取割线上岸辐角为 ,则下岸辐角为 ,根据柯西积分定理留数定理,易得

设 ,那么我们就求解出了该积分的值

幸运的是我们知道正割函数幂级数展开

其中 为欧拉数,于是便可得到

最终便有

代入 即得答案


欧拉数的母函数

其中 为欧拉数

由于 ,故


狄利克雷β函数

已知Γ函数的积分表达式

于是

于是有


的积分表达式


作变换 ,则

右侧积分作变换 ,则

设 ,则

也就是

其中


的计算


考虑复变积分

其中积分路径 取以下围道

根据留数定理

其中 为被积函数的一阶极点,则

所以

根据柯西积分定理

根据大圆弧定理

根据小圆弧定理

我们规定割线上岸下岸 ,则

取极限 即得


的值


设 ,则

由于

那么

于是

也就是





  

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