请问这道无穷级数题有什么巧妙的解法? 第1页
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Jaysny 网友的相关建议:
计算
首先定义函数
类比黎曼的方法，将其与Γ函数相乘，即
我们可以对右侧积分稍作变换，并取 ，易得
现在考虑将右侧积分转化为以下形式
等号右侧让人联想到对生成函数的操作，即若
那么 ，其中 为指数型生成函数
当务之急是求出这个积分，考虑复变函数
以联接原点到无穷远点的射线作割线，划分出单值解析区域，我们取割线上岸辐角为 ，则下岸辐角为 ，根据柯西积分定理和留数定理，易得
设 ，那么我们就求解出了该积分的值
幸运的是我们知道正割函数的幂级数展开
其中 为欧拉数，于是便可得到
最终便有
代入 即得答案
欧拉数的母函数
其中 为欧拉数
由于 ，故
狄利克雷β函数
已知Γ函数的积分表达式
于是
于是有
的积分表达式
作变换 ，则
对右侧积分作变换 ，则
设 ，则
也就是
其中
的计算
考虑复变积分
其中积分路径 取以下围道
根据留数定理
其中 为被积函数的一阶极点，则
所以
根据柯西积分定理
根据大圆弧定理
根据小圆弧定理
我们规定割线上岸 ，下岸 ，则
取极限 即得
的值
设 ，则
由于
那么
于是
也就是
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