谢邀。
就讨论最简单的情况吧,比如说球面上的几何。
首先,我们要回答两个很基本的问题:
答:过A、B的大圆劣弧。
答:球面上,到定点等于定长的点的集合。
PS:其实还是圆。只是这个时候,定点——球面上的一点、定长——球面大圆上的弧长。
有了上面的铺垫,就可以考虑球面上的“圆周率”的问题了。
如图,A、B在球面同一个大圆上,劣弧AB是球面圆的“直径”D,“圆心”即是弧中点。设球半径为1,∠AOB = 2θ,即D = 2θ,再求球面圆周长C = 2π sinθ,那么两者之比即为“圆周率”
可见,球面上的圆周率是关于θ的函数,并不是一个定值。
不过,考虑极限
可见,当 θ 充分小的时候,球上的圆周率充分靠近 π ,这说明球上的一个微小邻域内是平坦的,这也符合我们的直觉。
当 θ = π/2 时,也就是 2θ = π 时,球面上的“圆周率”达到最小为2,
最后,我再问一个比较严谨的问题:上面计算球面圆周长C利用的是——在旧的距离意义下的“老公式”,但是在新定义的距离之下,对于同一段曲线长,计算的结果仍然与原先一样吗?
答:如果弧微分的定义不变,即 ds = √(dx² + dy²) ,在微分几何中一个很基本的结论:弧长只取决于起点和终点,与参数的选择无关。