如果打算证明黎曼猜想，请问从大一开始应该做什么数学基础准备？ 第1页

恰好最近涉对黎曼假设稍有涉猎，最主要还是看了那本神奇的《素数之恋》，学到了不少东西。

我们还是一步一步来回答题主的问题吧。

先看看黎曼假设的内容： 函数的所有非平凡零点的实部都是 。

为了看懂这个假设，首先，我们得知道 函数是什么：

函数的形式是一个无穷级数：

此处，引出了我们第一个需要学习的知识：微积分

接下来，我们运用大学本科的微积分知识对 函数进行一些简单分析。

取 ，得到 ：

显然，这个无穷和是不收敛的。事实上， 不在 函数的定义域内。

取 ，得到：

这个无穷和是收敛的，并且由著名的科学家欧拉求出了答案， 。

我们还可以取更多的 来计算 ，但是以微积分这门课的知识，已经不能再取得任何进展了，这是因为，当 时，无穷和收敛且为正， 没有零点。当 时，这个无穷和是不收敛的，我们并不知道 在这段区间里是否有零点。

这里我们还可以用已有的知识再努力一下。定义一个 函数：

注意到：

其中， 时级数收敛， 有值。特别的，当 时， 在 和 之间震荡，取 。（这个技巧在傅里叶级数中也有用到）

反过来，我们就得到了：

在这种表示下， 仍然是不收敛的，但是对于 ，我们已经能够通过计算 来给出 的值。

此外，还有一个公式，它由欧拉提出，由黎曼证明：

注意到其中有一个部分涉及到了阶乘： 。初等数学里，阶乘函数的定义域为自然数，高等数学则将它扩展到了除了负整数外的一切实数。因此，上述等式的定义域很大，它包括：大于 的整数，以及所有非整数。

我们对上式取遍所有的 ，以此可以计算出 在 时的值。

这个公式还给了我们一个重要的信息。如果我们将所有大于 的奇数代入 ，等式左边则表示 在负偶数上的值，右边受到因子 的影响，始终为 。从而我们得到了这样的一个结果：

所有的负偶数都是 的零点！

可惜这些零点由于太过显然，被黎曼称作是平凡零点。而我们要找的是 的非平凡零点。

为了找到非平凡零点，我们需要再学习一个知识：复变函数与积分变换

黎曼函数 中，自变量 是作为指数出现的。我们容易理解 为实数时的情形，而对于 为复数的情况就不太熟悉了。

复变函数中最基本的定理是欧拉公式：

利用这个公式，我们可以计算出 函数中那些指数为复数的项，例如：

这样， 的定义域就扩充到了复数域（ ）。再利用一些复变函数课上绝对不会教的知识，可以计算出定义域上所有的 的值。

数学家们已经计算出大量的 的函数值，当然，也发现了不少零点：

这些零点与那些负偶数零点不同，它们需要经过大量的计算才能被找到。黎曼把除了负偶数之外的这些零点称作非平凡零点。

我们刚刚看到的这三个非平凡零点实部都是 ，事实上，在我看到的资料中，截至2002年8月1日，实部为 的非平凡零点已经找到了 个，而实部不为 的零点，一个也没有发现。

黎曼的假设是： 函数的所有非平凡零点的实部都是 。

我们都知道，黎曼假设是一个关于素数的假设。可是迄今为止，我们看到的都是有关分析学的内容，至于它和素数有什么关系，我们完全摸不着头脑。

接下来的知识我并不知道可以在哪门课学到，我不是数院的，也不熟悉数院的课程。但这些知识是理解黎曼假设所必需的的知识。

我们定义一个素数计数函数 ：

对于任意一个非负数 ， 的值为所有小于 的素数的个数，例如：

函数并不是一个定义域上连续的函数，每一个素数 都是一个间断点，比如：

我们还是用那种技巧来定义这些间断点的值：如果 是素数，则

例如：

根据 函数，我们继续定义一个 函数：

函数与 函数一样，定义在非负数上。并且我们知道， 对于任意一个给定的 ，随着 的增大，总会降到 以下，即：存在 ，使任意 ， ，进而 。所以， 函数对于任何一个 ，都能求得一个确定的有限值 。

和 函数类似， 函数也是一个定义域上不连续的函数。具体而言：

当 为素数（如 ）时， 到达间断点， 中由于有一项 ，所以也会有一个间断点。因为 函数只在素数值产生间断点， 除了 之外的其他项，不会产生间断点。此时，间断点左右相差 。

当 为素数的平方（如 ）时， 到达间断点， 中由于有一项 ，所以也会有一个间断点。因为 函数只在素数值产生间断点， 除了 之外的其他项，不会产生间断点。此时，间断点左右相差 。

同理，当 为素数的三次方（如 ）时， 也会到达一个间断点，左右相差 。以此类推。

函数由 函数定义，也可以反过来表示 函数。由“莫比乌斯反演”，得到：

《素数之恋》的作者说，莫比乌斯反演可以在有关数论的教科书学到。

关于上面的式子，我们又有些摸不着头脑，主要还是每一项的系数不太规律，可正可负，还缺少了一些项。

事实上，对于第 项，它满足：

• 为 时，系数为正
• 是奇数个不同素数的积时，系数为负
• 是偶数个不同素数的积时，系数为正
• 有一个平方因子时（比如 ），系数为零

函数 正是按此规则设计出来：

• ，如果 有一个平方因子
• ，如果 是奇数个不同素数的积
• ，如果 是偶数个不同素数的积

这样，我们就得到了一个简洁的用 函数表示 函数的形式：

我们已经知道 函数如何用 函数来表示了，接下来，我们使用一种方法，将 函数用 函数表示，就能够找到素数与黎曼假设的关系。

我们回到 函数的定义上来：

对两边同乘 ：

将定义式与上式相减，得到：

此时，等式右边原有的 的倍数的项已经消去，等式左边则多出了一个与 有关的因式。

接下来，对两边同乘 ：

将前式与此式相减，得到：

此时，等式右边原有的 的倍数的项已经消去，等式左边则多出了一个与 有关的因式。

继续选取素数 进行操作，我们可以将左边再添一项 ，右边则消去所有 的倍数项，剩下的项都是大于 的项。

不断进行如此操作，等式左边将得到所有素数项与 的乘积：

而右侧得到 ：

其中， 非常大，比左式最大的素数还要大，因此它们的倒数小到可以忽略，这样，完整的等式就变为：

移项，得：

两边同时取对数，得：

代入级数公式

得：

对于 函数，我们这次考虑一下对它的积分。

我们现在想要计算 。对于这样一个不连续的函数，我们一般会将它按照横坐标切割成一段一段的连续函数。这样做固然可以求出积分，但为了我们的目的，我们选择横向来切割。取 函数的图像从每个间断点 ，比如 ，这个间断点向右延展出了一段无限长的宽度为 的窄条，它的面积是 。

类似的：

取 处延展出来的宽度为 窄条，它的面积是 。

取 处延展出来的宽度为 窄条，它的面积是 。

我们将所有的间断点（由之前所说的 函数的定义式，素数和素数的幂都是间断点）都延伸出一段窄条，它们的面积构成了 ，即：

用同样的方法，这次我们求一个与 函数相像的函数 的积分（ 固定 ，对 求积分），它的函数图像长成这样：

它的间断点和 函数相同，同样也可以从每个间断点出来延伸出一条无限长的窄条，只是此时窄条的宽度不是定值，而是一个与 有关的变值：

取 处延展出来的宽度为 窄条，它的面积是 。

取 处延展出来的宽度为 窄条，它的面积是 。

取 处延展出来的宽度为 窄条，它的面积是 。

我们将所有的间断点都延伸出一段窄条，它们的面积构成了 ，即：

右式的每个积分都可以轻松得套用公式积出来，于是：

令人兴奋的是，右式提出 ，剩余的部分，正是和前面 的右式一模一样的式子， 函数和 函数自此搭起了一座桥梁：

再一次利用莫比乌斯反演，我们可以使用 函数来表示 函数：

其中： ， 是 函数的所有非平凡零点。

利用这两个等式：

我们终于得到了一种使用 的所有非平凡零点来表示素数计数函数 的方式。而黎曼假设提出的目标恰恰就是为了解决“求小于一个给定值的素数的个数”的问题。（其实在最后我还有一点没弄清楚，就是非平凡零点的实部都是 这件事可以意味什么，容我再好好学一学）

稍稍为题主做个总结：为了弄懂黎曼假设，至少得学会微积分，复变函数，数论，等基础数学。而为了证明黎曼假设，各个领域的数学家都为此做出努力，并非只是数论和分析这两个领域。历史上，代数学家，甚至量子物理学家，都曾运用过自己领域的知识为黎曼假设的证明做过努力。因为我也没有证明出黎曼假设，所以我并不能确保说，题主学习某个知识，学会了就一定能证明出黎曼假设。任何人都不清楚到底哪一种理论最终能证出黎曼假设。

预祝题主能早日证明出黎曼假设，到时候拿到奖金记得分我一杯羹 :-D

1986年，有一个人决定孤身向费马大定理发起冲锋。在下定决心的那一刻，他34岁。

在之前的三百年间，”费马大定理“难住了无数聪明的头脑。许多数学家像他一样试图挑战这个”末日难题“，但是都折戟于半途。

这个问题有多艰巨呢？光是收集这场战斗所需要的数学工具，就花掉了他18个月。他对自己说，接下来要面对的，是可能长达10年甚至更长的专心致志、默默无闻的努力。

在此后的7年里，他转入了一种秘密状态下的战斗。除了他妻子，没有人知道他在干什么。那七年间，除了吃饭、睡觉和散步，他无时无刻不在与那个顽强的敌人进行贴身缠斗。

七年之后，他向公众公布了他的证明结果。从此，他的名字永远地印在了数学史上：安德鲁.约翰.怀尔斯（Andrew John Wiles）。

听起来是一个孤独的人牺牲名利、以生命中的黄金十年为赌注，然后有幸地改变了历史的故事，对吧？

但是，你知道吗，怀尔斯1981年起，就已经成为世界高等数学”殿堂级“机构普林斯顿大学数学系教授。在他下定决心挑战费马大定理的时候，他已经功成名就，家庭美满，不必再为薪水担心。

换言之，他已经可以输得起。

题主本科，开始对黎曼猜想感兴趣。你知道怀尔斯什么时候开始对费马大定理感兴趣吗？10岁！而从10岁到34岁之间，他却从没碰过费马大定理。据他回忆，在研究生期间，他将主要精力用来拓宽自己的视野，几乎是暂时离开了他的理想。

而题主将要面对的”黎曼猜想“，其难度甚至可能远在费马大定理之上。

所以，为证明黎曼猜想，应该做什么数学准备？我的回答是，在今后的很长一段时间内，请忘掉”黎曼猜想“。想普通人一样去学习、去研究、去拓宽视野、去发表文章、去获得高等学位、去一所好的大学找到一个理想的职位、去成家、去经营好自己的家庭、去攒足够的钱。当有一天，你不再需要通过”黎曼猜想“来验证你人生的价值时，你就有资格挑战它了。