142857 是人类数学的巧合吗？ 第1页

巧合个屁，道理就一句话的事儿：因为10是模7的原根。

推而广之，1/n, 2/n, ... (n-1)/n在b进制下出现类似1/7这样相同但轮换式的循环节，当且仅当：

• n是质数
• b > n
• b是模n的原根

掌握这三点之后，人间佛法和数学奇迹就可以量产了。

比如2是模3的原根，那么5也是模3的原根。于是1/3和2/3在5进制下分别为

好无聊，换个大点的：2是模5的原根，那么7也是，于是1/5, ..., 4/5在7进制下分别为

再来一个，10是模17的原根，所以1/17, ..., 16/17在10进制下也是循环的，这一点 @莱布尼兹之梦 在他的回答中已经提到了。

至于为什么，<划掉>留给学有余力的同学好了</划掉>。

其实说起来也简单。

为什么一定要n是质数？因为这样 ，约化剩余系才是完全剩余系，k/n也才能形成一个完整的循环，否则就会分裂成多个各自循环的群。

比如11是模6的原根，但是周期为2，于是1/6, ..., 5/6在11进制下就是这样的：

为什么要b > n？否则循环节里的某一位会大于(b-1)，导致进位，然后就把看起来很干净的模式给污染了。不过如果你用位值原则表示的话其实还是能看出来循环。

为什么要求b是模n的原根？以1/7为例，想要出现循环的话就得有 (对每个k，存在这样的t，{.}是取小数部分的意思），也即

存在整数m，使得 ，也就是 对每个k都成立。

这就是10是模7的原根的定义啊！