Z^n的所有子群怎么求？ 第1页

首先，我要证明的定理长这个样子^[1]：

定理：令 是秩为 的自由阿贝尔群，且令 是 的子群。则 是一个自由阿贝尔群，且它的秩小于等于 .

（秩就是基的元素数，因此 是有限生成自由阿贝尔群）

虽然和题目中的形式不太一样，不过在证明中很容易就能转化成题目里的形式。

先提及一些前置知识：

1. 令 表示整数集合，则任意阿贝尔群都可以看做一个 -模。后面的证明中都这样看待自由阿贝尔群。

2. 整数矩阵可以对角化为标准型：

，其中 为正整数且 .

现在进入正文（如果只是领会精神的话可以只看加粗部分）：

第一步，选取 的一组基 ，根据我们的直觉^[2]， 也应该有一组生成元集 。由于 ，所以可以将 的元素表示为 的元素的线性组合： ，其中 是一些整数。令矩阵 ，那么在基 下，矩阵 的列向量就是 的坐标向量。另外，根据生成元和基的定义， 的元素分别能用 的线性组合来表示，所以根据简单的线性代数知识，我们知道这两种表示分别定义了 到 的一个满同态和 到 的一个同构（回想一下前面的说法：它们都是 -模）。这允许我们将相对任意的阿贝尔群上的运算转化到 间的运算。

第二步，我们将 对角化。注意到 定义了一个 到 的同态：将 的元素经 用 的元素表示，再经 用 的元素表示，最后经 用 的元素表示。所以 的对角化的意义就是对 做一些基变换。假设 上的基变换矩阵为 ， 上的基变换矩阵为 ， 为变换后的矩阵，线性代数知识告诉我们 。现在看一看我们最开始的假设： 是 的基， 是 的生成元，并没有规定是哪一组。又因为刚才证明了存在性，所以我们可以假定选择的基和生成元恰好让 为对角型。

第三步，对角标准型的定义和长相告诉我们 ， 及以后的生成元都是0（注意，这是第二部重新选取生成元后的结果，虽然符号没变，但表示的对象和一开始不同了，不要混淆了）。0作为生成元是没用的，所以我们把它们剔除出 ，然后就有 。特别地，如果 ，那么 ， 是零子群；我们不考虑这种平凡的情形。

第四步，根据第三步，可以假定 是 的对角型矩阵， 起是一些零行。现在，我们证明 是 的一组基，那么 和 就是题目中说的那一对基。

根据定义， 生成 ，所以只需证明 线性无关。得益于 的对角化，这很容易：设 ，则 。 由于 是 的基，所以 ，又因为 ，所以 ，即线性无关。

证明完毕。

现在来谈谈遗留问题：为何 存在，或者说，为何 是有限生成的。由于 仅有的特征是“有限生成自由阿贝尔群的子群”，所以我们期望能证明这个命题：有限生成阿贝尔群的子集是有限生成的。这确实是真命题，事实上，我们有如下定理：

令 是诺特环，则有限生成 -模的子模是有限生成模。

诺特环的定义为“每个理想都是有限生成的的环”。 是主理想整环，当然满足这一条件，所以是诺特环。因此，作为 -模的阿贝尔群适用此定理。至于定理的证明，这就是另一个故事了。

参考

1. ^ 出自Artin《代数》（第2版）第十四章《环中的线性代数》（定理14.4.11）。
2. ^ 后文会给出一些说明。