为什么要引入矩阵这个数学工具？它能简化哪些不用矩阵会复杂的问题？ 第1页

令我惊讶的是下面的回答几乎都是与应用相关的，很少有人从纯数学的角度来讲矩阵的用处的。我在这里补上一个，从纯数学角度来说，我们为什么需要矩阵？

以下内容部分来自Linear Algebra Done Right以及我的笔记。

大家都知道线性代数的研究对象是线性变换。简单来说，对于 （一个域，可以想象成 或者 ），以及两个向量 (一个向量空间)，如果 有以下性质：

• ;

那么就称 是一个线性变换。或者等价的，需要有 。我们现在深入来研究一下这个线性变换。对于这两个向量空间 ，我们可以引入两组基： 是 的一组基， 是 的一组基。那么现在 中的所有向量都可以用其基向量的线性组合表示，且这个表示是唯一的。

我们要怎么样才能算“很了解”这个线性变换 呢？理想的情况下，给定任意的 , 我可以写成 ，我希望给定任意的 ，我都可以将它被变换后的向量 用 的基向量的线性组合表示出来。为了达到这个目的，我最少需要什么信息？根据线性变换的性质，我知道 ，也就是说我只要知道 怎么用 基向量的线性组合表示出来就行了。我们就从这里开始：

现在假设我知道这些信息：

接下来的计算就很容易了：

于是对于每一个线性变换 ，选定了基向量 定义一个方阵 ，其中第 行第 列是 用 的基的线性组合表示中， 前面的系数，也就是 ，如图所示：

相当于这个方阵中包含了 的所有信息。这就是定义矩阵的一种思路。虽然刚开始数学家是为了解方程定义的矩阵（高赞答案讲了），但是在数学上，我认为比较自然的定义是这种方式。

矩阵乘法的定义是为了符合线性变换的性质。给定一个线性变换 ，形式上我们有 ,其中 同样的，我们希望如果把 写成列向量的形式，我们有 . 如果我们把矩阵和向量的乘法定义为 的话，我们达到了目的。

如果两个矩阵相乘，对应的就是两个线性变换的复合，我们希望如果 ，那么 . 那么自然的定义就是 .

最后，知乎编辑器真的是个废物，西内。

中国高等教育的数学课都是数学系老师教的，乍一看天经地义，但实则数学系老师只会用纯数学的思维教课，只说定义、性质，再用剩下的两节课证明性质，从不说这些花花绿绿公式是干什么用的，才会催生出一大批和题主一样的对学数学产生怀疑的人。

数学是可以用并且非常实用的学科！

尤其是矩阵

1.1、图像处理

先说最简单的灰度图，图像是由一个个小像素点行列排列组成的，每个像素点由数值大小代表不同颜色（黑白灰），那么图片天然就可以用一个矩阵表示。把一张黑色的图片和一张白色的图片掺杂变成灰色的图片，说白了就是(1+0)/2=0.5的过程，矩阵表示为：

如果不用矩阵：

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`

一张图怎么也得几百个像素点吧。这还只是黑白灰图片，彩色图片是由红绿蓝三个通道组成的，那就是三维矩阵了，换成普通表达式又得翻3倍。

小米发布了一亿像素的手机，不知道题主对一亿有没有概念，如果铺成可爱的脖子长长的小动物可以绕内心一圈。

但矩阵表达式永远都是简单的（再写一遍）：

1.2、图像压缩

老师肯定讲过特征值分解后，较大的几个特征值包含了原矩阵更多的信息，剩下的几个特征值越小，对原矩阵贡献越小。

基于此，对于一张一亿像素的图片，应该可以理解保存在磁盘上是非常大的一个文件，进行奇异值（只有方阵才有特征值，非方阵叫奇异值）分解后，只留下特征值较大的，以及对应的特征向量，剩下的全部扔掉，就可以完成图像压缩，减小磁盘占用，而不影响图片的辨识度。

如果不用矩阵。。。想不出来了，大概就像按元素写SVD分解吧，可能类似给一亿只小动物逐个起名字吧。

2、空间变换

机器人坐标变换尽管烂大街了，鉴于读者专业不同，说个容易理解的：卫星在太空把天线朝向从西安转移对准北京（这里只是用来说明旋转变换的容易理解的例子，真实航空航天是怎样算的并不知道）：

其中R是旋转矩阵， 为卫星当前朝向向量（对准西安）， 为目标朝向向量（对准北京）。

在这里不严格推导了，我们定性分析一下，绕空间三个自由度旋转，每个坐标旋转后都会影响下一个坐标位置的选取，所以数学上就是一大堆三角函数相乘，类似于：

x、y、z为朝向向量v的三个方向分量。

3、最小二乘

线性回归常用公式，表面看似简单的公式，但里面包含了数个求和符号：和的平均、平方和的平均、和的平方的平均、积的和的平均，和的积的平均，当时为了算这个公式内心不知跑过多少长脖子的小动物。之后有了多元函数、高次函数拟合同样是基于最小二乘原理，更加mmp。但他的矩阵形式：

内心的小动物瞬间安静了。

4、空间约束

这个在优化问题比较常见，比如初中就学过开口向上的二次函数最小值在槽底，但如果限定x取值范围的话，槽底可能根本不在所规定的可行域范围内。

如果不是初中的二次函数，而是高维空间，自变量有上百个，他的可行域空间约束:

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写成矩阵：

搞定。

5、卡尔曼滤波

卡尔曼滤波是控制理论对系统状态估计最常用的方法，矩阵形式：

其中中有一个求增益K的公式，也就是第三个公式，注意分母也是矩阵（众所周知矩阵不存在除法，分母实际是右乘他的逆）

如果不用矩阵，其他几个公式尚且可以按元素乘开，但唯独这个K，总不能把矩阵求逆按元素展开写进代码里吧，那样心里可就不止几只可爱的小动物那么简单了。。。

此处，本人尚且不知道如何不用矩阵来表达卡尔曼滤波，欢迎交流。

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作者开始学线代的时候也在怀疑矩阵有什么用，依稀记得书上说特征值在工、医、化、生、经等各个学科有极其广泛的应用，但无论是课本还是数学系老师对这个''极其广泛''到底怎么广泛却只字不提。等到后来实践接触越多，才发现矩阵理论真如王八拳一样可以打遍天下无敌手，但因为数学系老师当初的填鸭教育，好多东西必须回头再学一遍。

因此在此对矩阵理论产生怀疑的读者们保证一句：矩阵理论，绝对有用，绝对好用。

数学有一个特点，它可以完成数学体系内的自洽而不与外部世界发生交集，其他学科诸如物理化学计算机医学生物历史经济等，则必须依靠现实世界进行推演，马克思说万物都是物质的，但数学除了要写在物质上要人理解以外，好像真的可以完全脱离物质。

数学系老师也有一个特点，他们追求纯数学里的自洽，沉浸在数学性质证明上，而完全脱离数学性质在现实世界的应用。

小学学数学，是和小明小红一起度过的。

大学学数学，只能和内心的脖子长长的小动物一起度过了。

希望工科数学改革，让工科系老师教数学。哪怕让小明和小红回来也好哇。

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哈哈哈哈，已经越来越多的人开始同情背锅的数学系老师了。我必须澄清一下，我认为理论数学是极其具有前瞻性的学科，量子物理的发展就以早就存在但当时看似无用的理论数学为基础的。研究理论数学的人更是这个星球上最聪明的人的集合。我吐槽的是高等教育数学课的教学模式，毕竟教学大纲里没有数学应用人家老师自然也不必讲。

张跃辉老师那本《矩阵理论与应用》每一章最后一节都在写本章内容的实际应用，可上课的老师只会背对讲台在那里证明性质123而绝口不提应用123。不能说数学系老师不懂工科应用，因为考试大纲里没有啊，正课都讲不完还拓展什么？应用书上有写你自己去看就好了啊？

话说回来，雪崩前没有一片雪花是无辜的。但前边性质推导我也能自己看也不用讲啊？正是因为学生缺乏实践经验，所以应用部分才需要有经验的人来讲啊？

我计算方法那门课老师是工科背景的，微分方程旁征博引，希望数学系老师都去听一听。

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祈求喜欢无脑喷的知友提升一下阅读理解能力 T_T，帮这类人概括一下中心思想：

1. 题目问的是''简化''，所以我举得是简化表达的例子。
2. 吐槽的是工科数学的授课模式，不是数学系，详见京东链接上一段。

当然绝大部分知友都是能够理解的，毕竟数学课不提原因就讲性质转眼就考试太有共鸣了。

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哈哈哈哈哈，数学系教学只做定义、性质证明，绝不画图、绝不讲应用、绝不用正常逻辑的万人吐槽现场：