有什么有趣的数学题？ 第1页

有代號 A, B, C 的三位神祇，只知祂們名為「真實、虛謊、任性」，但不知哪個代號屬哪個名字。真實之神只說真話，虛謊之神只說假話，而任性之神會隨意說真話或假話。你的任務是利用三條是非題，找出 A, B, C 的身份，但每次只能向一位神祇發問。神祇們都懂得你的語言，但只會用祂們的語言回答 "da" 或 "ja"。這兩種回答，一個解「是」，一個解「否」，但你不知道哪個回答是哪個意思。

2000年曾出现过一道知名的五点共圆问题，震惊全中国

交际花定理。

定理 如果一群人中任意两个人总是有且仅有一个共同的朋友(朋友关系是相互的)，那么一定有一个人是交际花。(即与所有其他人是朋友)

证明需要用到一点儿线性代数，不过前半段是中学生甚至小学生都看得懂的。十分有趣，曾收入《数学天书中的证明》。看的时候请把人抽象为点，朋友关系抽象为线，画个图。

下面证明。首先，要么这群人里只有一个人，要么至少有三个人。如果为一个或三个，问题显然成立。假设至少有四个人。

用反证法，假设交际花不存在。我们先证明每一个人的朋友个数是一样的。把一个人 的朋友数记为 。对于两个人 ，令这两个人不是朋友，设 。(这个一定存在)假设 是 的所有朋友。由于 和 有一个共同朋友，不妨设为 。 与 恰有一个朋友，不妨设是 。 与 恰有一个共同的朋友，记为 。

首先， 都是不同的人。否则，假设 ，则 有两个共同朋友 。矛盾。从而 至少有 个朋友，即 。故 。同理 。故 。

现在只解决了两个人的问题，下面推广到所有人。对于任意一个人 ，他/她与 不同时是朋友，也就是会与 之一不是朋友。不妨设是 ，对 重施上面的手段可知 也是 。最后考虑 ,(注意，现在不知道朋友数的只有他/她了)由于 也与一个人不是朋友(否则是交际花)，所以故技重施可以知道 。这就证明了所有人的朋友数是一样的。

设一共有 个人，我们再次考虑 的朋友，这 个人的朋友数之和为 。由于每一个人 都与 有一个共同的朋友，故每一个人都被数到，且 被数了 次。从而有一个重要的结果： 。

下面是线性代数的主场～

首先，开头已经假设 。所以 。给人编号，记为 。我们先考虑一个邻接矩阵 。也就是说，矩阵中的元素都是零或一，且第 行第 列的数 是 等价于 是朋友。规定一个人与自己不是朋友。由定理的条件，任取两行，都存在一列，这一列与这两行的交集都是 。之前已经证明每一个人都有 个朋友，所以每一行或者每一列的数之和都是 。从而

其中 是全为 的矩阵。我们考虑特征值，由于 的特征值是一个 和 个 ，故 的特征值是一个 和 个 。从而可知 的特征值是一个 和 个 。假设是 个 与 个 。线性代数告诉我们，一个方阵的特征值之和等于矩阵的迹。所以 。故 ，且 。从而 是有理数，从而是整数。令 ，则 。从而 ，得到 。但是 ，矛盾。

表面上看起来不有趣，结果很有趣...

在这里给出一种解答

发现这题的亮点了吗...注意Remark...真的超级像Lucas定理啊...