如何求证：无穷级数∑1/i²=π²/6，求方法？ 第1页

看到讲解基本都更数学一些，我想放在实在的物理模型里讲一下这个推导，数学本质依旧是傅里叶变换，在量子力学中相当于变换表象

考虑某个在宽度为a的非对称一维无限深方势阱中运动的粒子，其处于状态

已知能量本征值为 ，本征函数

将波函数系数归一化，即

得到

然后，将波函数 向能量的本征函数系展开，得到展开系数

由于展开系数的模方之和为1（总概率）可知

于是得到无穷级数之和

通过改变某个波函数 ，可以同理推出其他无穷级数，比如 与 时，可以证明 以及

这是数学史上著名的Basel Problem，以大数学家欧拉和数学家家族伯努利家族的故乡——巴塞尔命名

如果定义：

这就是著名的Riemann Zeta Function，前段时间闹得沸沸扬扬的黎曼猜想研究的就是它

当然关于这个问题本身，即 ，证明起来并不很困难，它的证明方法非常非常多，我估计得有几十种

巴塞尔问题(Basel problem)的多种解法--怎么计算$frac{1}{1^2}+frac{1}{2^2}+frac{1}{3^2}+cdots$ ? - 御坂01034 - 博客园

http:// empslocal.ex.ac.uk/peop le/staff/rjchapma/etc/zeta2.pdf

这两个地址给出了很多种证法，但应该还不全

我也补充一个相对较为初等的证明方法，只需要掌握微积分中的幂级数相关知识即可

我们知道

【注1】

令 ，

有

由于

【注2】

由比较判别法的极限形式，可得级数

收敛

由Weierstrass优级数判别法可知

函数项级数 一致收敛，从而逐项可积

两端分别对 求 上的积分

从而

【注3】

注释：

【1】

我们令

两边再同时对 求导，有

再对两边同时求n阶导数，由高阶导数的Leibniz公式，可得

整理得

（ ）

在 时，有

从而，当 时

而当 时

从而有 的Maclaurin级数为

并且显然它收敛于自身的Maclaurin级数

【2】

可由不等式

推出

由夹逼定理可知

此即Wallis公式

从它可轻易推出

【3】

这个定积分可由递推公式

推出

同理由该递推公式还可推出

于是

由于 时

自然有

于是可推导出注释2的不等式