怎么形象清晰地解释「周期 3 意味着混沌」? 第1页

谢谢邀请。我尽量说的清晰；不过毕竟是复杂的数学系统，可能不够形象，还望见谅。

我们首先要明白两点：

1、这里的周期指的是自映射的周期点的周期；

2、这里的混沌系统是离散混沌系统，即每次的映射的结果是可以分开的，它不是连续混沌系统。

对于一个闭区间的自映射

如果使得

也就是说J上的某个数，每次都拿这个映射操作一次，映射了n次就映射回了自身，那么x就是J上的一个周期点。如果小于M次的映射都不能使得它映射回自身，而M次则可以，那么x就叫周期M的周期点。

比如给26个字母建立个自映射，每个字母对应字母表的下一个，Z对应A。那么A就是周期为26的周期点。

接下来我们要提到一个定理以作为铺垫，Sharkovskii定理：对于R上的区间J的连续自映射，如果存在周期为3的周期点，那么J内也存在周期为1,2,...N（N任意取）的周期点。需要注意的是：这里是连续自映射，而不仅仅是自映射而已，通俗点讲就是：当两个原本离得很近的点x和y经过f的映射后变成x'和y'，那么x'和y'离得也很近。

那么为何周期3可以意味着混沌呢？

这要提到Li-Yorke定理，它其实也给出了混沌的一种定义:

闭区间J和连续自映射f，如果具备以下条件则可以被判定为混沌：

1、f的周期点的周期无上界；

2、f的定义域存在不可数子集S,满足：

1）,当时，有：

2),有：

3)和任意周期点,有：

通俗的翻译一下后三条：

1)存在可数无穷多个稳定的周期轨道（这个不等式表明在S内，起点不同的x和y经过了n次映射，它们差绝对值的上界的极限反映它们走向了不同的道路，如果它们不稳定，则会被吸引到周围的稳定的轨道上去，存在走向同样的道路的情况，会使得那个极限趋于0而非大于0，后面的几条可类似的理解）；

2）存在不可数无穷多个稳定的非周期轨道；

3）存在不稳定的非周期轨道。

而这两个人证明：若存在周期3的周期点，则以上的条件均可证明满足。（其中第一条由Sharkovskii定理保证，这是最显然的）

那么在这种混沌的定义之下，周期3就意味着混沌的存在了。

P.S.:当然这是对于一维的离散系统而言。对于连续的系统，混沌则出现在三维或以上，二维或以下则不会出现。因为对于二维连续动力系统而言，有Poincare-Bendixson定理：若极限集非空、有界、不包含平衡点，则一定是一条闭轨线。也就是说二维的极限集要么是不动点，要么是无穷点，要么是闭轨道（闭轨可以是孤立的，那就是极限环；也可以不是孤立的，那就是中心点附近的那些闭轨），而没有更复杂的情况了。