2021年5月14日，著名数学家王元院士去世，他对中国数学界有哪些贡献？ 第1页

2020年，《中国科学》和《科学通报》对王元院士作了专访，让我们从王元院士的自述中了解一下他的工作吧。

下面引自《王元先生专访: 与<中国科学><科学通报>一个甲子的情缘》^[1]。

“王元：《中国科学》和《科学通报》都是1950年创刊，这两本杂志是中国当时最好的学术期刊，是最重要的对外和对内学术交流的窗口。因为《中国科学》还用外文发表，所以更容易进行国际交流。特别有幸，我最重要的文章都发表在《中国科学》和《科学通报》。

总的说来，我在《中国科学》和《科学通报》上发表的纯数学方面的重要成果主要有两个方面。

第一，哥德巴赫猜想的成果。有3位中国人深入研究过哥德巴赫猜想(任何一个大于2的偶数可以表示成两个素数之和, 俗称“1+1”)：陈景润、潘承洞和我。但是第一个研究这个问题的是我，然后陈景润和潘承洞在我的基础上，做得更好。这个问题的突破，在国际上开始受到很大的重视，因为哥德巴赫猜想是一个极为重要的问题。大数学家希尔伯特在20世纪的第一年提出了23个数学问题， 引导以后的数学家研究，哥德巴赫猜想是希尔伯特第8个问题的一部分，全世界都很重视这个问题。 中国人对这个问题的研究做得不错，关于哥德巴赫问题，我的研究工作主要分两部分：

第一部分证明了3+4，该研究发表在《数学学报》。 后来第二阶段， 我把3+4改进成2+3，该研究发表在《中国科学》； 此外, 在一个猜想的前提下，证明了1+3，该研究也发表在《中国科学》， 这两篇文章很重要。我的关于哥德巴赫猜想的工作，全文都写成英文在《中国科学》外文版上发表，提要发表在《科学通报》。

第二部分为最小原根，有两个结果，直到今天， 在世界上仍是最好的。当时的提要发表在《科学通报》， 然后研究的全文发表在《中国科学》上。这些是我的纯粹数学的工作，对我个人来说，这两项工作是最重要的。

后来，我跟华老(华罗庚先生)转到应用数学。 我们研究的是多重积分近似计算，在这方面我跟华老合作的文章，都先在《科学通报》上发表提要，然后在《中国科学》上发表全文。这一系列的文章全部都发表在《中国科学》和《科学通报》上。 改革开放后，科学出版社跟Springer出版社合作，用外文出版一批介绍中国学者工作的专著，第一本书就是我与华老的《积分近似计算》。写进这本书的主要是发表在《科学通报》和《中国科学》的研究工作，再结合国外学者的一些开创性工作。

再后来，我又与方开泰教授合作，做了统计方面的研究，最原始的工作还是发表在《科学通报》上。第一篇是《关于均匀分布与试验设计(数论方法)》, 这是关于“均匀设计”的研究纲要，1981年发表在《科学通报》。后来我又做了一些哥德巴赫猜想以外的纯粹数学的研究工作，也是先在《科学通报》上发表提要，然后全文投稿到国外期刊上发表。 ”

"有几本书可以详细了解一下。

《哥德巴赫猜想》这本已经是第二版了, 这里的文章不仅讲中国, 而且是讲全世界对这个问题的研究进展。 与中国有关系的有我的研究工作, 如1962年在《中国科学》上发表的那篇文章是最重要的。这本书里也有其他中国人的文章，比如陈景润和潘承洞的文章，这些成果直至今天仍然很重要.。

我在1984年就用英文出版了《哥德巴赫猜想》^[2]， 是一套丛书中的一种。这本书在世界各大图书馆 、大学里似乎都有，研究这个问题的人都会用 到它，这样搞数学史才有意义。当然这本书主要不是中国数学史的，只有一小部分内容与中国有关。

《数论方法在数值分析中的应用》收录的是我与华老在数论方法应用方面的一系列工作。 我们的第一篇文章在1960年发表(Hua L K, Wang Y. Remarks concerning numerical integration. Science Record (New Series), 1960, 4: 8−11)，而国外同行的第一篇文章在1982年发表。 我与华老合作的每篇文章，都发表在《中国科学》《科学通报》, 没有在其他杂志发表过。

本书简介^[3]：由于计算机科学的发展和应用，数学家们于1960年开始对数论方法在数值分析中的应用产生了浓厚的兴趣。从理论的角度来看，这些研究所取得的进展既重要又实用，并且令人满意。例如，从17世纪到1980年间，人们不断在无穷逼近单个积分的方法上进行了大量的尝试和努力，一直到19世纪50年代时，才有几篇关于多重积分的著作问世。但在过去的二十年中（1960年-1980年），人们已经发现了许多新方法来解决这一问题，其中数论方法正是非常有效的一种方法。

《统计中的数论方法》是我与方开泰教授做的统计方面的研究工作，在国外出版。这个领域的第一 篇文章是我们两个合作的1981年发表在《科学通报》上的 《关于均匀分布与试验设计(数论方法)》。 "

简要介绍下上面王元院士提到的关于哥德巴赫猜想的两部分研究工作：

（1）一个充分大的偶数可以表示为两个正整数之和，其中一个正整数的素因子（包含相同的和不同的）个数不超过 ，另一个正整数的素因子（包含相同的和不同的）个数不超过 ，这两个正整数都可以称为“殆素数”，这个命题可以简记为“ ”，那么哥德巴赫猜想就是要证明“ 1 + 1 ”。

1920年，Brun证明了“9 + 9”。

1924年，Rademacher证明了“7 + 7”。

1932年，Estermann证明了“6 + 6”。

1937年，Ricci先后证明了“5 + 7”, “4 + 9”, “3 + 15”和“2 + 366”。

1938年，Byxwrao证明了“5 + 5”。

1940年，Byxwrao证明了“4 + 4”。

王元院士于1956年在《表大偶數為一個不超過三個素數的乘積及一個不超過四個素數的乘積之和》中证明了“3 + 4”。不需要很复杂的数值计算 ， 就能得到“3 + 3”和“ ”其中 ^[4]。1958年，在《论筛法及其有关的若干应用（Ⅰ）——表大整数为殆素数之和》中王元用比较复杂的数值计算证明了“2 + 3”，1960年，在《表整数为素数及殆素数之和条件結果》中，王元在广义黎曼假设之下证明了“1 + 3”。

（2）最小原根。对于一个奇素数 ， 是一个大于1小于 的正整数，

如果集合 除以 的余数构成的集合是 那么 是模 的一个原根，从抽象代数的角度， 是乘法循环群 的生成元， 时，模 的一个原根不止一个，其中最小的那个称为模 的最小正原根，记为

首先证明了： ，其中 是 的互异的素因子个数。

然后他自己改进到：

华罗庚得到：

Erdos得到：

Erdos与Shapiro得到： ， 是一个绝对正常数。

1959年，王元院士在《论素数的最小正原根》中改进到：

对任意 ， ，此处与“ ” 有关的常数仅与 有关。

最后一个结果的证明用到了Weil关于有限域上代数函数域的黎曼猜想的深刻结果，至今没有任何改进^[5]。

在知网搜索王元院士的文章，王元院士作为唯一作者、第一作者以及合作者的文章大概有80多篇左右。

最早的一篇是《表大偶數為一個不超過三個素數的乘積及一個不超過四個素數的乘積之和》^[6]，发表于1956年。引用最多的一篇文章是和方开泰合作的《关于均匀分布与试验设计(数论方法)》，发表于1981年，事实上，引用最多的前五篇都是和方开泰合作的。

接下来是在知网可以搜到的王元院士的文章，主要整理如下：

1956年，王元院士还发表了《表大偶數為一個素數及一個不超過四個素數的乘積之和——廣義Riemann猜測下之結果》。

1957年，王元院士和合作者发表了《论尤拉函数■(n)的一些性质》，王元院士发表了《整值多项式的某些性质》。

1958年，王元院士发表了《论数论函数ψ(n),σ(n)及d(n)的一些性质》和《论筛法及其有关的若干应用(Ⅰ)——表大整数为殆素数之和》。

1959年，王元院士发表了《论筛法及其有关的若干应用——殆素数的分布问题》和《论素数的最小正原根》。

1960年，王元院士发表了《表整数为素数及殆素数之和条件結果》。

1961年，华罗庚和王元院士发表了《关於在等高线图上計算矿藏儲量与坡地面积的問題》，这应该属于应用数学的一篇文章。

1962年，王元院士发表了《論积分的近似計算及其应用(数論方法的应用)》和《ON SIEVE METHODS AND SOME OF THEIR APPLICATIONS》。

1964年，王元院士发表了《关于特征和的估计及其应用》，华罗庚和王元院士发表了《丢番图逼近与数值积分(Ⅰ)》和《丢番图逼近与数值积分(Ⅱ)》。

1965年，王元院士和一些合作者分别发表了《关于素数分布的两个结果》和《关于近似分析中的数论方法的几点注记》。

1966年，华罗庚和王元院士发表了《多维周期函数的数值积分》，王元院士发表了《О ИНТЕРПОЛЯЦИИ ФУНКЦИЙ НЕКОТОРОГО КЛАССА》、《关于一类函数的插入公式》和《关于s阶的两两正交拉丁方的最大数目——筛法的应用——》。

1973和1974年，华罗庚和王元院士发表了《论一致分布与近似分析(Ⅰ)(数论方法)》、《论一致分布与近似分析(Ⅱ)(数论方法)》、《论一致分布与近似分析(Ⅲ)——数论方法》和《论多维囿变函数的数值积分及其应用》等。

1975年，王元院士和潘承洞等合作者发表了《表大偶数为一个素数及一个殆素数之和》等，王元院士发表了《关于 Davenport一定理的注记》。

1977年，王元院士发表了《ON ЛИНИК'S METHOD CONCERNING THE GOLDBACH NUMBER》，华罗庚和王元院士发表了《A NOTE ON SIMULTANEOUS DIOPHANTINE APPROXIMATIONS TO ALGEBRAIC INTEGERS》。

1978年，王元院士和合作者发表了《关于分圆域的独立单位系》和《高维数值积分的数论方法》。

1979年，王元院士和合作者发表了《关于丢番图逼近论中的测度定理》和《关于线性型的一个转换定理》等。

1981年，王元院士和方开泰发表了《关于均匀分布与试验设计(数论方法)》。王元院士发表了《丢番图逼近论与近似分析》。

1982年，王元院士发表了《关于用数论网格求柯西问题渐近解的一个注记(英文)》，王元院士和合作者发表了《高维数值积分的数论方法(Ⅱ)》。

1985年，王元院士发表了《代数数域上的加型方程》。

1987年，王元院士发表了《一组丢番图不等式》。

1988年，王元院士发表了《关于齐次加型同余式》。

1993年，王元院士发表了《On Small Zeros of Quadratic Forms over Finite Fields (Ⅱ)》。

1996年，王元院士和方开泰发表了《混料均匀设计》。

1999年，王元院士和合作者发表了《数理方程近似求解的数论方法》。

2000年，王元院士发表了《有理逼近及应用》。

2006年，王元院士和合作者发表了《素数等差数列问题》。

2009年，王元院士和方开泰发表了《统计模拟中的数论方法》。

王元院士还写了一些评价其他数学家工作的文章，比如《华罗庚教授在数论上的贡献》、《评潘承洞、潘承彪著“哥德巴赫猜想”》、《杨乐在函数值分布论上的贡献》等。

王元院士还写了一些偏科普性的文章，比如《解析数论在中国》、《数论方法在近似分析中的应用》、《仆人与皇后——谈谈数论和它的应用》、《解析数论在中国(迎接ICM2002特约文章)》、《同余数问题与椭圆曲线》和《谈谈数学之现在与未来》等。

可以看出，王元院士在我国的数论发展方面是作出了重要贡献的，写这篇文章希望更多的人认识和了解王元院士，希望数论能继续在我国开花结果。

参考

1. ^ 杨志华. 王元先生专访:与《中国科学》《科学通报》一个甲子的情缘[J]. 科学通报, 2020, v.65(31):7-9.
2. ^ 王元. 王元院士谈中国近现代数学史研究[J]. 中国科技史杂志, 2000, 21(004):287-288
3. ^ https://www.sohu.com/a/395951702_783449
4. ^ 王元. 论筛法及其有关的若干应用(Ⅰ)——表大整数为殆素数之和[J]. 数学学报, 1958, 8(3):413-429.
5. ^ 龚克. 关于最小原根的两个结果[D]. 河南大学, 2005
6. ^ 王元. 表大偶數為一個不超過三個素數的乘積及一個不超過四個素數的乘積之和[J]. 数学学报, 1956, 6(3):500-513.

数学竞赛党一定知道的一句话。

王元对哥德巴赫猜想的贡献是不可磨灭的。虽然陈景润的1+2是当前领域中最强的结果，但是王是首个用Selberg筛法^[1]对哥猜进行研究的数学家（1950年代先后证明了3+4、3+3和2+3，而王之前的a+b命题都是依靠相对繁琐的Brun筛来完成的）。

1957年，王元说明了GRH能导出1+3。后来1965年Bombieri通过用证明以下均值定理来替换GRH从而将王元的1+3变成了无条件成立的结论：

定理（Bombieri-Vinogradov）：对于所有的A>0存在B=B(A)>0和C=C(A)>0使得当x充分大的时候：

其中 表示模q余a且不超过x的素数个数、 、 为欧拉函数。

后来陈景润通过将Bombieri-Vinogradov定理做进一步改进从而证出1+2。

事实上，王元整理的哥猜论文集也应该是每个哥德巴赫猜想研究者（cue一下那些民科哈哈哈）的必读物：

这个论文集不仅仅收录很多哥猜战线上的许多里程碑式的成果，包括但不限于最初Hardy和Littlewood基于圆法猜出的渐近公式、Brun的9+9、Rényi的1+C、潘承洞的1+5，当然还有就是陈景润的1+2。阅读这些前沿的工作有助于扩展自己对哥德巴赫猜想的视野，同时也能避免堕入闭门造车的境况。

王元对数学界的贡献远远不止于此，文中总结的仅仅是答主作为解析数论初学者能够了解的工作。欢迎广大网友进行补充！

参考

1. ^筛法（4）——Selberg筛法 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/388965550