如何证明圆上若干点构成的多边形最大面积在正多边形时取到？ 第1页
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yu-yiren-62 网友的相关建议:
单位圆上的凸 边形取得面积最大值时，圆心 必位于它的内部。
证明是很容易的。设 就是这凸 边形，圆心 位于它的外部，则 这 个顺时针排列的顶点必定位于单位圆的同一个半圆弧上。这时，显然有 考虑这三角形 假使我们调整 位置使它变为 这 是弦 中点与圆心 连线与圆的不在前述半圆弧上的那个交点，这时， 保持不变，但 显然变大了，于是总的 也将随之变大。这说明，如果圆心 位于凸 边形的外部，我们总可以调整顶点的位置、让圆心 变到形内以使凸 边形面积增大，于是结论得证。
单位圆上的凸 边形取得面积最大值时，必是正 边形。
基于 的结论，将的各个顶点分别与形内的 相连，并设
于是有 注意到 在 上是凹函数，于是依 不等式，成立 当且仅当 时成立等式。由此即证。
Huxley-84-43 网友的相关建议:
估算一个上界。思路是每一轮都寻求一条最短线段，将当前包含天使的多边形，按面积等分成两个新的子多边形。再假设天使的运气足够好，每次都瞬移到等分效率较低的子多边形。
直观看出，取平行于正三角形一条边的线段来等分其面积，等分效率最高。令此线段长度 ，三角形边长 ，则：
这样，初始正三角形被分成一个新的小正三角形和一个等腰梯形，易见等腰梯形的等分效率远高于新的小正三角形，于是根据假设，天使将瞬移到新的小正三角形当中。如此循环，至于无穷，天使将被锁定在初始正三角形的一个顶点。计算魔鬼走过的耗时路程：
记魔鬼速度 ，则捉住天使的时间：
这个题目如此离散，不借助于数值离散优化不易得到全局最优解，建议大家来改进这个上界吧。
按照 @yyx 说的圆弧线等分正三角形以及后续的扇形，上界可以改进为：
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