这个荔枝弯曲的形状是否有曲线方程？ 第1页
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jiang-xiao-bai-96-15 网友的相关建议:
我来作个总结吧，毕竟这样一个好问题不能像个烂摊子一样摆在这里。
要分析这个问题，首先得抓住主要矛盾，几何非线性，大变形。
这个问题的关键词是“大变形悬臂梁”，也就是说材料力学中的小变形假设不再成立，
如上图所示，根据推导结果(推导过程见附录)，梁的挠曲线参数方程为
其中参数 由下面方程确定，这代表的是梁长约束。
参照下面这组实验，我们对比一下实验结果与理论结果。
这里把实验参数都列上，有感兴趣的可以亲自算一算。梁长 ,宽 ,
高 ,弹性模量 ，作用力 。
实验结果与理论结果对比如下，基本一致。主要误差来源于理论结果中未考虑梁的重力。
按理说这个问题到这里就结束了。但其实很多人都有疑问，这种分析方法不具有普遍性，
能不能利用数值方法来求解这个问题。答案是可以的，只不过需要点小技巧。
先把这个控制方程列出来
解这个方程需要利用打靶法，这是一种对付非线性微分方程的万能利器。
固定一个 ,就会求得一条挠曲线，也即获得一个梁长度 。
不断变更 ，使得 ,此时的即为我们需要求解的梁的横向位移。
高票答案就是忽略了这个横向位移且未考虑梁长约束，导致结果发散。
下图为Mathematica计算结果，与参数方法所获结果完全一致。代码略去了打靶过程。
Clear [ "Global`*" ]; b = 3.04 * 10 ^ ( -2 ); h = 0.078 * 10 ^ ( -2 ); E0 = 200 * 10 ^ 9 ; I0 = b h ^ 3 / 12 ; F = 3.92 ; L = 0.3 ; [ Delta ] x = 3.14 * 10 ^ ( -2 ); sol = NDSolve [{ w '' [ x ] / ( 1 + w ' [ x ] ^ 2 ) ^ ( 3 / 2 ) == F ( L - [ Delta ] x - x ) / ( E0 I0 ), w [ 0 ] == 0 , w ' [ 0 ] == 0 }, w , { x , 0 , L - [ Delta ] x }] // First Plot [ - w [ x ] /. sol , { x , 0 , L - [ Delta ] x }] 我们总结一下，此类问题的最好解决办法是利用打靶法数值求解非线性微分方程。
例如上述问题中考虑梁重力影响的话，只需修正一下弯矩表达式即可。当然，实际中更
复杂的问题则需要借助商业软件来求解，而这个问题则可以作为一个良好的模型问题
供以检验。
【公式推导部分】
梁的挠曲线控制方程为
弯矩表达式为，
为了使横向位移 不在方程中出现，将方程对 求一次导数,方程变为
带入弯矩，得到
两边同乘 ,上式可化为，
根据边界条件 以及 ,可知
将弧长 表示为 的函数，
这其实可以写成椭圆积分，但没啥必要。
有一个约束条件需要注意，即梁的长度没有改变，
据此求出 ，梁的参数方程可表示为，
其余参数可顺势获得， 。
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