设σ(n)是n的所有正因数之和，如何证明存在无数个正整数n使得σ(n)是完全平方数? 第1页

首先熟知 为一积性函数

我们考虑找一种形式十分简单的 来使 为完全平方数， ,这里 是不同素数。

考虑素因子分解 , 为不同素数，

为完全平方数实际等价于

大致思路如上，考虑放到 上的向量空间里找线性关系做

取一个 ，考虑不大于 的所有素数 ， 的素因子分解中出现的素数 满足 ,记 为全部素数。

为完全平方数等价于

对 ,若 , 中一定有一些向量有非平凡的线性关系，从而表现为 的一个非零子集和为0。也就是说取 ， 为完全平方数

根据素数定理， ,从而

假设我们已经找到了 使得 均为完全平方数， 为它们的全部素因子集，找充分大的 ，使得 ,取 ，应用此前证明找到一个 与之前的数均互素，且因子和也是完全平方数，重复这个过程就能找到无穷多个数使得因子和是完全平方数

大概一般的来说换成 为k次幂都是可以做的，但是就需要一些更加精细的操作，这种估计已经完全不够了

首先如果 互质，那么

可以通过定义得到：

设 ， ，其中 为第 个质数， 对于任何 ， 中至少有一个为0（不然 有公约数 ）

那么 ，

在 或 为0时显然成立

取一个任意的正整数 ，设 为使得 的最小整数，假设 。很明显当 时， ，

现在看 。

求 的所有质因数中最大的数，并取 大于这个质因数，则的所有质因数都小于 ，而因为 的质因数必然小于 ， 的所有质因数也都小于 。

因此，所有 ， 的所有质因数都小于 ，可以表达为

，

把中间所有的指数 列出可以组成一个 的矩阵。

可以把矩阵

根据奇偶表示为

其中 且

考虑由0和1组成的域F2下的线性代数，因为行比列多1，所以 行必然在F2下线性相关，即存在不全为0的向量 ， 使得

由此可得

的每一项皆为偶数

于是

为完全平方数。

换句话说， 满足 为完全平方数。而 里所有的质因数次幂 都大于 。

现在我们可以取 ，并同样获得一个 满足 为完全平方数，且所有质因数次幂都大于 ，显然 。以此类推，满足 为完全平方数的 有无限个。