R^2 与 C 的区别在哪里？为什么有数学家认为复数用 a+bi 表示不好？ 第1页

谢邀，就代数结构来说 是 的直和，它是一个环。但是 是一个数域，这个带来的直接后果是，如果 那么我们不能自然的写出它的逆。但是，如果 , 你可以自然的写出它的逆 . 这一点和实数一样，由此带来的另一个不同就是“微分”的定义不同。一个从 到 的函数和一个从 到 的函数上定义的「微分」可以有很大的区别。

作为一个一般的赋范空间，它的导数只能通过

的方式定义。你需要用到范数 才能让 有意义。但是在复数下，由于除法是天然有意义的，所以我们可以这样定义微分

这两种定义是不等价的，而且后者要明显强于前者(虽然上面两个式子出现各种0，但是它们表达的意义可能是不一样的)。 存在一个函数在前者顶一下可微，但是在后者定义下就不可微。后者这种「可微」函数是复分析的核心对象，也就是所谓的复解析函数。

至于为什么有些数学家觉得 表示不好，我估计他们更喜欢 的表示喽？也许他们只是喜欢coordinate free的方式。那么你得问他们了，我个人并不具有这种方面的偏好。

作为「集合」， 和 之间可以建立「双射」；在这个意义下，两者没有区别。

作为「实线性空间」， 和 同构（维数相同），维数为2；在这个意义下，两者没有区别。

作为「实内积空间」， 和 同构（存在保持内积的线性双射），这里的 上的内积定义为 ；在这个意义下，两者没有区别。

作为「度量空间」， 和 「等距同构」(存在保持距离的双射)；在这个意义下，两者没有区别。

作为「拓扑空间」， 和 「拓扑同构」（存在同胚映射）；在这个意义下，两者没有区别。

通常我们谈论 的时候考虑的是它的「域」的结构；而 通常指的是2维「实内积空间」（如果加上用「内积」定义的「角度」，也叫「欧几里得空间」）。在标准的欧几里得空间上是没有定义乘法的（不是没有（乘法）逆元，而是根本就没有「乘法」）。但是，在 这个集合上，我们可以定义「乘法」(使得每一个非零元素都有「乘法」逆元)：

。

可以直接验证，集合 加上这个乘法以及加法 构成一个「域」。把 定义为 ，这个「域」就对应我们熟悉的复数域 。事实上，这是我们定义复数的一种方法。

函数的微分是局部的线性近似。复数域 上的复函数与 上的二元实函数的微分的区别可以从 和 上线性变换的区别看出来。任何一个（1维复线性空间上的）复线性变换 对应一个（2维实线性空间上的）实线性变换 ；反之不成立。考虑给定的复数 ，其中 为实数。那么复线性变换 对应的（2维实线性空间上的）实线性变换是

。

（复线性变换 在1维复线性空间标准正交基下的 的「复」矩阵是 。）

由于这个原因，函数 的「微分」与函数 的「（复）微分」非常不一样。例如，函数 对应的 上的线性变换 可微，但是 不是复可微（由Cauchy-Riemann方程可知）。

为什么有数学家认为复数用 a+bi 表示不好？

复数的定义方法有多种，你可以在不同的场合使用不同的表达形式。脱离上下文谈论某个数学概念的某种表达形式的优劣没有意义。

例如，你可以定义 （以及相应的加法和乘法运算）。这种方式非常直接、具体。这种定义方式有一个「缺点」：在验证域公理的时候，某些计算会很繁琐。你试试证明由 定义的乘法的结合律看看？

但如果你用 这种定义，乘法结合律的证明就简单多了。另一方面，你如果想用Mathematica在复平面上画出集合 的样子，你会用 这种形式。

你加了「代数几何」的标签；我不懂「代数几何」，就写到这里。