什么是 Finsler Geometry？它与 Riemann 几何有什么关系？ 第1页

从某种角度上来说，这两者的关系有点儿像Hilbert空间和Banach空间的关系。

Finsler Geometry是Riemann Geometry的自然推广。它推广的是Riemann Geometry定义曲线长度，也就是定义距离的方式。我们知道，曲线长度的定义方式是曲线的切向量的『范数』的积分。当这个『范数』是最简单的情况，也就是『内积』的时候，它就是Riemann Geometry，而当它是一般的范数的时候，它就是Finsler Geometry。

从这个角度来说，所有Riemann Geometry下面的概念，比如测地线，曲率，等等等等，都可以对Finsler Geometry对应的定义出来，而所有Riemann Geometry下你可以问的问题，比如闭测地线的条数，常曲率空间的刻画，等等等等，也都可以对Finsler Geometry来问。

但是具体处理这些概念和问题的时候，Finsler Geometry要比Riemann Geometry繁杂得多。除了范数本身定义方式变得难于处理之外，它还导致Finsler度量的indicatrix不再具有对称性，这也就使得Finsler Geometry下的几何量基本上都会和『方向』有关。这将导致一些和Riemann Geometry下完全不一样的情况，比如A到B的测地线不再一定是B到A的测地线。再比如我们都熟知的一个结论是说Riemann Geometry下球面上有无穷多条闭测地线，但是在Finsler Geometry下，存在只有两条闭测地线的球面。

从这个角度，我记得龙老师曾经说过，如果把Riemann Geometry比喻做现实地球上的情况，有高山峡谷凹坑，使得最短距离不再是直线，那么Finsler Geometry就相当于一个刮着猛烈飓风的地球，在这上面，顺风和逆风或者侧着风都会有很大的不一样。