如何推导以下几种连分数表示？ 第1页

听说你们想要 ，好，证明给你们看：

那个，原题还有一个连分数，证明在最后哦！（｡ò ∀ ó｡）这两个证明都是比较初等的。

首先第一步就要吓住你们！

当然了，这个绝对是附加题了，按照契约，在回答最后会补充题目中一个连分数的证明

第一步：

注意到

于是可以收敛地求和：

下式成立：

其中

并且由此对应的

首先考察

于是

把它写成：

求和，上式自带裂项，得到

为了利用类似的部分分式技术

记

下求 ，显然由上定义：

于是，让我们完成复杂的计算，不要害怕哦

（ヽ（≧□≦）ノ）

一般的，我们记

其中

由于 时 收敛

因此必须有

故因为多项式性质 分母没有

那么

因此 因此

完成了证明

下面考虑到 是关于 的有理函数

第二步：定义

定义

下式成立：

我们注意到恒等式

剩下繁琐的计算验证工作省略

放心，还有更繁琐的：

下式成立：

根据前面 可验证原式

然后注意到： 得证

类似的，也可以处理：（一样的递推）

还记得根据前面

（因为 是平凡的）

于是 那条递推式，相当于：

的所有部分分数的分子的和，故

因此 都满足这条递推

第三步：容易归纳得到

而且 这个不好证明，有空补

当然只是收敛性相关的结论，无伤大雅

于是

这样可以写出递推：

于是

于是利用前面 @有丘直方 同学回答的方法，得到

最后是你们想要的最后一组

​ 下式成立

于是根据 的 展式，和裂项技巧

结论易证

现在回到原题，我们写开引理式：

而设

按照连分数的性质，类似的有

考虑

另外数学归纳法可以证明：

因此

剩下验证这与那个无穷级数一致的工作就是很简单的了

程序员传统：迭代变量下界为 ，上界取不到。

引理 （Horner算法）：设数列 满足递推式 且 ，则 。

略证：要看出这一点，只需要将和式与递推式展开地写成

。

我们将看到算法理论中的结论在数学中为数不多的应用。

引理 ：令 ，则 。

证：

。

引理 （Euler连分数公式）：若令 ，则 。

证：利用引理 ， 。故由引理 可得 。

反复利用数列 的递推式，可得

。

取 时的极限，得

。

引理 ：设 ，则 。

证：容易看出 。利用引理 可得

。

上式两边乘 ，得

。

引理 ：设 ，则 。

证：令 ，则由引理 得

。

上式两边乘 ，得

。

有了上面的引理就可以开干了。

令 ，则由引理 得

，

即

。

根据Gregory级数 可得 。故

。

在上式中令 ，则 。于是得

。

引理 （Gauss连分数公式）：设 是一个数列，函数列 满足递推式 。则 。

证：令 ，则其满足递推式 。

反复使用递推式可得

。

引理 ：超几何函数 可以写成连分数 。

证：定义如下函数列：

，

，

，

，

……

则其满足引理 中的递推关系，其中

，

，

，

……

（请读者自行找规律，懒得写通项。）

于是由引理 可得

，

或者

。

令 ，则 。上式变为

。

那么既然 型的超几何函数可以写成连分数，反正切函数 当然也可以。直接利用引理 可得

。

在上式中令 ，则 。于是得

。

最后还有一个连分数在 @cyb酱 的回答中被证明了。