可微函数在几何上有何特征？ 第1页
1
liu-yang-zhou-23 网友的相关建议:
在多元函数中，在各个方向的方向导数存在，也不一定可微，反例我之后会给出。
但是可微的确有很强的几何特征：存在（超）切平面。这本质上还是从可微的定义而来的，相关内容可参考北师《数学分析》第三册，以及《流形上的分析》（J.R.曼克勒斯）有非常细致、精彩的分析。
反例
这个函数在 点的所有方向导数存在，但在 点不可微. 令 ，当 时
，
所以
显然所有方向导数皆存在，下面说明不可微性，甚至它还是不连续的！因为——
就是在这个很刁钻的角度下，函数值却不充分靠近函数值 .
1
相关话题
一立方米的物体（类似于活性炭）把它展开后它的表面积最大能有多少？能达到无限吗？数理特长生学医的话是人才浪费吗?
当我们说一个定理可以推出另一个定理的时候, 我们在说什么?
有哪些定理在高维情况下与三维情况下培养出来的直觉不符？
考虑一个半径为 1 的圆，若「随机」选择圆上的弦，求弦长的概率分布？
这道题能用极坐标方程做吗？
实系数多项式之所有根为实数，如何证明其相应 n 阶导数之所有根为实数？
为什么nn的较大问题是会陷入局部最优时，不选用凸函数作为激活函数？
丁小平到底是怎样的一个人？
物理系的学生数学学到什么地步合适？
前一个讨论
矩阵特征值与矩阵本身的关系是什么？
相关的话题
如果 a/b 是有理数，那么为什么圆周率不是有理数？如果K'/K=1/sqrt{2},那么k等于多少？
各位大佬，这题怎么做?球了？
什么是半微分（semi-differential）？有什么几何意义吗？
如何证明下面有关紧致集合连通性的问题？
计算器或计算机如何进行比较复杂的数学计算？
将无数个苯连接在一起会生成什么？
如何看待著名数学家、18 年菲尔兹奖得主考切尔·比尔卡尔（Caucher Birkar）加盟清华大学？
数学大牛是怎么看待悖论和无穷的？
为什么几乎所有教科书上对微分的讲解都不明不白？
请问，一加一为啥等于二？
学习质数理论有什么实用之处？
这个级数应该如何求和，关于数项级数求和证明的问题？
如何在数学试卷上调戏阅卷人？
站在一个无穷大的围棋/五子棋盘上的任意格点上，能够看到的格点都放上黑棋，黑棋占格点比例多少？
标记 n 维空间中任意一个点/向量一定要用 n 个坐标吗？
如何证明以下式子？
这题怎样证?
如何把微信群/QQ群构造成一个阿贝尔群？
如何证明一个无理数的整数倍数的小数部分在（0，1）上均匀分布？
请问陪集、左陪集、商群、正规子群该如何理解？
学习计算几何是什么样的体验？
孩子初三了，几何不好，证明题做题速度超慢，感觉无头绪，关键自己还不着急，应该怎样学习，如何突破？
非常神奇的数学结论有哪些？
x^7+1=(x^4+x^2+x+1)(x^3+x+1) 是如何分解得到的呢？
什么是动态规划（Dynamic Programming）？动态规划的意义是什么？
如果函数是一种法则，那它为什么有最大值、极限，还能相加减等等？
制药工程女生就业真的不好吗，不喜欢化学而喜欢数学？
若 π 被证明是有理数会对世界有何影响？
什么是直？什么是直线？