可微函数在几何上有何特征？ 第1页
1
liu-yang-zhou-23 网友的相关建议:
在多元函数中，在各个方向的方向导数存在，也不一定可微，反例我之后会给出。
但是可微的确有很强的几何特征：存在（超）切平面。这本质上还是从可微的定义而来的，相关内容可参考北师《数学分析》第三册，以及《流形上的分析》（J.R.曼克勒斯）有非常细致、精彩的分析。
反例
这个函数在 点的所有方向导数存在，但在 点不可微. 令 ，当 时
，
所以
显然所有方向导数皆存在，下面说明不可微性，甚至它还是不连续的！因为——
就是在这个很刁钻的角度下，函数值却不充分靠近函数值 .
1
相关话题
请问陪集、左陪集、商群、正规子群该如何理解？到底是用实数定义了复数，还是用复数定义了实数？
高考完的暑假如何自学大学数学?
如何证明下面的数学分析问题？
为什么有理数 1/49 看起来这么像是个无限不循环小数？循环节在哪里？
一周学完初中三年所有知识可能吗？
如何证明对于任意大于 1 的正整数 n，(1＋√2＋√3＋…＋√n) 均为无理数？
可测集多还是不可测集多？ 即一维，直到n维的欧氏空间中，可测集类和不可测集类是否等势？
几何分析是不是一个被普遍公认的独立的学科，如果是，为何AMS的学科分类里面里面找不到几何分析？
如果边数为偶数的凸多边形存在内切椭圆，并且其对边切点连线交于一点，则此多边形的对角线也交于此点吗？
前一个讨论
矩阵特征值与矩阵本身的关系是什么？
相关的话题
线性映射为什么那么重要？二十世纪以来最牛的数学家（Grothendieck这种级别的）都有谁，你最崇拜谁，为什么？
为什么高中不直接开设高等数学、线性代数、概率统计这几门课呢？
数学中有哪些让你感到赏心悦目或是震惊的构造手法？
中国的物理学、数学在未来一段时间内有望跻身世界领先水平，或者说能够成为世界的一个重要数学或物理中心吗？
格林公式为什么不对称啊？
如何推导以下几种连分数表示？
下面圆周率的这3个无穷级数公式怎么证明？
如何评价丘成桐表态「重视基础科学别停留在口头」？那应该怎么重视呢？
一道初三数学几何题。目前用arctan和tan的无脑计算可以求出来，请问还有其他方法吗？向量？或其它？
逃离丧尸包围的游戏，你能否逃生？
黎曼 ζ 函数为什么要那么解析延拓？
一个有n条边的简单图最多有几个三角形?
如何能够快速恢复脑力？
高手大概率是谦虚还是傲慢的？
复合映射的符号f°g是怎么来的？
为何常用偶数进制却少见奇数进制？
平均多少个 [a, b] 间的随机数之和才大于 c？
泛函分析一道习题，咋做呢?
如何判断一个人适不适合学数学？
数学里的 e 为什么叫做自然底数？是不是自然界里什么东西恰好是 e？
一个同时有内切椭圆和外接椭圆的多边形满足什么条件？
如何证明如下积分等式？
用Mathematica计算定积分，结果出现虚数是什么原因？
复数为什么比较不了大小？
如何正确理解群论中的同态基本定理？
怎么证明：拓扑学家的曲线连通但不道路连通？
《从一到正无穷》第三章的空间想象是什么意思？
数学中为什么要定义各种空间？
正整数和正整数中的偶数哪个多（如何证明）？