可以留下一个优美的不等式吗？ 第1页

借着这篇回答复习一下以前的笔记。

定理（Integral Doubling Inequality，Garofalo & Lin，1986）：设 是完备非紧的黎曼流形，对任意 ，存在 ，使得对任意 上的调和函数 ，均有

这里 为常数。

这个不等式的一个非常强大的应用，就是用它可以很快地证明调和函数的 Unique Continuation Property。

定理（Unique Continuation Property）：设 是完备非紧的黎曼流形， 是连通的开子集， 是 上的调和函数。假设 在 上的某个开子集恒等于 ，则 在 上恒等于 。

实际上 Nicola Garofalo 和 Fang-Hua Lin 是对更广的一类椭圆方程的解证明了这两个结论。

几年前我给同学讲这个结论的时候，他告诉我 Gilbarg & Trudinger 的二阶椭圆偏微分方程书上第一章有这么一道习题：

• 习题：设 为调和函数， 为 上的开的、光滑子集。假设 在 上的函数值、外法向导数值都等于 ，那么 恒等于 。

利用 Unique Continuation Property ，可以很容易的把这个题做出来了。虽然 Gilbarg & Trudinger 放在第一章的本意可能是想让我们用其他办法？不过我看书有个超级坏的习惯就是基本不会主动去做课后习题（其实就是太懒了），所以当时我也没注意到这道题哈哈哈。

为什么我会提这个习题呢，是因为这个用 Unique Continuation Property 做这个习题的相同的思路，可以用来证明 Malgrange 和 Lax 关于调和函数的一个延拓的结果，进而可以证明：

定理：设 是完备非紧的黎曼流形，则存在 上非常值的调和函数。

此外，这也是很多椭圆方程的解的延拓或者解的粘合，需要要求在边界上边值、法向导数值能接起来的缘故，因为这样才能保证接起来之后的解仍有很好的正则性。

其实仔细回忆一下，在本科复分析中我们学过：

定理：若 是区域 上的非零的全纯函数，则 的零点集在 上是孤立的。

是不是觉得它和调和函数的 Unique Continuation Property 很像！实际在欧氏空间的情形就是一回事，因为这时候调和函数是实解析的。而之前怎么证明这个零点孤立性质的呢，就是直接 Taylor 展开然后分析系数。

对于多复变量的全纯函数，情况有点不太一样，事实上：

定理：设 是 上的全纯函数，则 的零点集永远都不是孤立点集。

不过我们仍然有：

定理：设 是连通集 上的全纯函数，若 在一个 的一个正 Lebesgue 测度子集上等于零，那么 恒等于零。

下面简要说一下 Integral Doubling Inequality 的证明思路，想法是考虑所谓的 Frequency 的有界性。

定义：设 ，假设 是定义在 上的调和函数，令

所谓的 的 Local Frequency Function 是

通过一堆计算得到关于 Local Frequency Function 的一个微分不等式，进而可以证明：

定理：对任意 ，存在 ， 连续依赖于 ，使得对任意定义在 上的调和函数 ，都有

欧氏空间的情形可以作为一个很好的数学分析的练习例子，实际上我们可以证明：

定理： 为原点时， 关于 单调递增。

Hint：印象中北大出版的、周蜀林的偏微分方程里有具体计算，虽然他写这个结论并没有交代背景。

有了 Local Frequency Function 的估计，可以证明（求导都只是关于 求的）：

若 ，则

同样地，作为一个很好的数学分析的练习例子，可以计算：

• 习题： 为坐标原点时，

在上面的不等式中，关于 从 到 积分， 则有

接下来 Integral Doubling Inequality 就很显然了。

若存在 使得令 。
则在前面的微分不等式中考虑从 到 积分，这里 可以证明

于是结论得证。

相信你一定会很好奇怎么用这个不等式证明调和函数的 Unique Continuation Property 。那么我们有：

• 习题：用 Integral Doubling Inequality 证明调和函数的 Unique Continuation Property。

Hint：对于任意一点 ，可以将它和函数恒等于零的开子集的一个内点用测地线 连接起来，其中 然后选取合适的 ，用反证法证明 。

（最后，十分感谢讲这门课的老师，可以说是我最喜欢的课之一了。）

代数对称性受到微小扰动，产生了三角函数。某种意义上也算是优美吧。

微分几何中有一个关于空间曲线的 Fenchel 定理，这个定理其实是一个不等式，因此我们姑且称之为 Fenchel 不等式，个人认为这个不等式就非常优美！

为了叙述 Fenchel 不等式，我们先回顾关于曲线的一些基本概念和理论. 设

为 正则参数曲线，则其在 处的 曲率 为

我们定义曲线 的 全曲率 为

我们称起点与终点重合的且无自交点的曲线为 简单闭曲线.

关于简单闭曲线我们有下述结论：

Fenchel 不等式：设 为任一简单闭曲线， 为其全曲率，则有 .

尽管 Fenchel 不等式 形式简单，但结论非常强. 它告诉我们对于任给的一条简单闭曲线，不管其形态有多么复杂，它的全曲率都不会小于 . Fenchel 不等式 不仅形式简单优美，而且应用性极广，比如下面这个看似与微分几何毫无关系的不等式就可以由它推导出来.

定理：设 为正的以 为周期的周期函数，且满足

则对任意的 ，若 为以 为周期的周期函数，且满足

则我们有

证明：

对 ，我们构造曲线族

则可以验证曲线 为简单闭曲线. 直接计算有

从而曲线 的全曲率为

由 Fenchel 不等式 知 . 即 在 处取得极小值. 而直接计算可知

则由 极值的第二充分条件 知 ，即为

注：上述结果是北京大学的 马翔 老师在2018年得到的. 若取 定理 中的 ，就会得到著名的 Wirtinger 不等式，所以上述结果是 Wirtinger 不等式 的推广. 当然，Wirtinger 不等式 在另一方向的重要推广就是下述大名鼎鼎的 Poincare 不等式.

Poincare 不等式: 设 为紧致无边的 Riemann 流形，对任意的 ，若 满足 ，则我们有

其中 为 的 Laplace 算子 的第一个特征值，而 为 的 梯度.

由于当 而 为标准的 诱导度量 时 ，故此时的 Poincare 不等式 就变成了 Wirtinger 不等式.

【定理】设 是从小到大排列的素数. 则

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补充一个高等代数里面的Hadamard不等式:

【定理】设 是 阶实方阵. 则

证明：可以对A作QR分解.

参考

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这是我看到的最准确的总结。

总的来说，就是中国的高考相对公平，所以性价比极高，所以其他活动都可以适当让步。

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