一个空间中勾股定理不存在，而变成了 c^4=a^4+b^4，甚至有更高的指数，那么这是一种什么空间？ 第1页

一个身高不足1m5的人，把身子转到某个角度，立刻变成1m8.。。。。。当然，角度转歪了就1米吧了。。。

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（随着回答评论中的问题，我也会把它更新在回答中。为了避免重复问题，我在前面整个目录。。。）

• 开场例子
• 目录
• 第一次回答
• 关于映射的简单探讨
• 范数定义
• 为什么要用到内积，为什么讨论旋转，以及会不会存在 空间下的新“内积”，从而有新的旋转呢？

第一次回答

当然，主要看题主说的勾股定理想要起到怎样的作用。

我理解是：勾股定理是要用来确定一个绝对的距离（其实已经有一个叫法 叫做 范数 ，具体定义放在了文末）。已经有人研究过这样的空间， 可以写成 来表示 “成立”的空间。也就是说，给两个坐标（姑且假设是勾股定理成立的二维空间。但是广义上来讲，一般都是指在无穷维范数收敛的。） ， ，一般我们说这两点距离是 。

当原先勾股定理不存在时，两点距离会成为 （如题主所说）。

在这种空间中，能够发现 两点在平移的情况下距离不变（平移就是每个点的相应坐标加相同的值）

然后看看旋转呗。

因为平移长度不变了，所以把 移动到原点 来考虑就行，这时候 。不失一般性地假设，逆时针旋转某个角度 ， 就成了 然后验证一下，两点距离的情况

emmm。。。。n=4有点难算，我算数不好。。我就假设旋转60°了。。。。。。然而我还得借助一波计算器。。得到

显然，这玩意开根号等于不了之前的长度。。

也就是说，在这个空间下，你转一圈，可以从原来的小矬子变成巨人。。。。。

没发现么，，这不就是哈哈镜么。。。把镜子摆好了，立刻大长腿，，摆歪了，，。。。

关于映射的简单讨论

看到别人的评论问道函数的变化，，我姑且当做是映射（算子）的范数怎么变的。。。

首先，算子的大小可以类比速度，怎么求速度？就是 ，所以一个算子的大小就是 据我了解，如果距离的判定发生改变，，映射不变，其实也就是说原像变了。。原来的单位元成了如图所示的东西

就好比 这个映射来说，，原先映射的大小是 ，在题主所说空间下，大小还是1。。。（因为这个映射是将 ，如果是 就发生改变了，变成了 ）

范数定义

关于范数的具体定义

定义 设 是域 （实数或复数）上线性空间，函数 满足条件：
1） （正定性）
2） （正齐性）
3） （三角形不等式性）
称 是 上的一个范数。 上定义了称为赋范线性空间。

对于上文提到过的 空间，它的范数为

， 。对于有限维空间，就让它从某个脚标之后全为0就行了。

为什么要用到内积，为什么讨论旋转，以及会不会存在l4空间下的新“内积”，从而有新的旋转呢？

对于内积的探讨，我想用几个trivial的例子来引入这个问题。

既然问题是问勾股定理，不妨直接看看勾股定理最“原始”的样子。

定理 一个直角三角形△ABC，三条边AB垂直与AC，则有如下公式成立

利用勾股定理，能够求出BC的长度，但是BD就无法根据三角形的边长求出来了。这是因为AC、BC是垂直的。那么垂直意味着什么？意味着有方向，有角度了。虽然公式中没有出现角度，但是它在直角的意义上给“内定”了。

后来，学过一个公式叫做余弦定理

定理 在△ABC中，三个叫对应的边长分别为a,b,c，则有如下公式成立 且该公式对三个边三个角具有轮换对称性。

这样一来，不论三个角角度怎么变化，只要知道能确定一个全等三角形，就一定能确定整个三角形的边+角。

那为何要说内积呢？

其实通过内积二维空间直角坐标系的作用能够发现，内积具有一种“转化”的用途。线性空间中“线性”二字顾名思义，你得有“线”。这个怎么个“线”法？就是在二维空间中，把平面看作是两根“线”，把三维空间看成三根“线”。内积呢？在二维空间中，把平面上的点，劈成两根“线”上的点，而且是同时考虑（不然就是两个一维空间，毕竟二维空间中的两条线是被一定关系所连接的）。

此外，内积还有一个单位统一的作用，就是将角度化作长度来考虑 也就是说，ab两个夹角可以用ab的边长来表示了。

（对于高维空间、可数维空间以及不可数维空间中，以上两点概括全部为真。不过需要证明一些命题去佐证。如果有必要我再去证明。）

从这里来看能够发现，内积是伴随着角度出现的，而旋转是角度变化的体现。

如图所示，左边的向量通过旋转可以的到右边的向量，具体约为（角度有舍入）

矩阵乘向量，实际上是矩阵的每一行的 行向量 内积上右边的 列向量 ，分别得到新的 列向量 的 每一行。

到这里能发现，只要勾股定理成立，角度、旋转的问题的讨论是早晚的事情。

至于为单独列出来这个呢？因为当 时（也就是勾股定理不成立时），就没有内积了。说的本质一点，就是角度没办法划归到长度了。

对于后一个问题，需要列一些定义，并证明一些命题。

首先就要定义什么叫内积（该定义是由普通意义上的内积归纳而来，学过高代的话理解起来更快）~

设 为复线性空间，如果对任给的 都恰有一个复数，记为 ，与之对应，并且对应具有如下性质：
1） （同量非负）
2） （对第一变量的可加性）
3） （对第一变量的齐次性，算上2）可称为 对第一变量的线性性）
4） （Hermite性，这个性质是为了在复线性空间中使1）成立的一个性质，如果在实空间下，则为对称性）
对 。则 称为内积。具有内积的空间便称为内积空间。

且规定，内积为0的两个向量被称为正交。

下面将内积记为 （此处没有说明内积根号为范数，因为正定性、正齐性都显而易见，三角形不等式性需要说一说，下面逐步证明）

首先看看这种方式能不能归纳出满足勾股定理的形式？

假如 ，x，y正交，则有

能够发现，这个对于一般意义上的内积空间（可能无穷维），存在着一种“勾股定理”形式。

命题 设 为一组 中正规正交集，则对任何 有

虽然范数-内积后面才能证明，不过可以发现，这个能够表明：内积空间中的向量长度可以利用一组正交向量将其分割成两部分。从而预示着，射影定理的存在。

证明：通过“加一项减一项”的方法，能够将 写成 能够发现 即，x的那种表示，中括号前两项正交，所以，可以写成“勾股”形式。 命题得证

于是可得以下两个不等式

Bessel不等式 为一组 中正规正交集，则对于任何 都有

和

Schwarz不等式 对内积空间 中任意两个向量 都有

然后利用Schwarz不等式便可得到

所以三角形不等式成立。 为内积空间的范数。

以上，简单介绍了内积空间的一些性质。

一般来说，在内积空间中，对于范数肯定会有一下两个式子成立

极化恒等式

和

平行四边形法则

一般来说，有平行四边形法则，就会有内积。此处就不在给出证明了。（可构造 去证明内积存在）

有人问，会不会有另一种内积，可以用 的范数来表示，且满足 呢。不妨假设真的存在，则（考虑简单的二维实线性空间）

设 ，则应该有 考虑 则可以有 从最后能够发现，这玩意不满足齐次性，也就是说

所以。。QED

其它的性质我一时半会也行不起来，也可能我学识有限把。。。。先写这么多。。。