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请问泰勒公式的几何意义是什么? 第1页

  

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基础概念[1]

设 中的曲线 ,其中 是弧长参数,

其基本性质

还需要知道以下概念:

  • 切向量:
  • 主法向量:
  • 从法向量:

还有基本的 Frenet 公式

其中 是曲率、 是挠率,它们是数量函数。

空间曲线的 Taylor 展开

下面,将曲线 在 处 Taylor 展开(不妨设 )

利用 Frenet 公式带入:

也就是说,我们在 Frenet 标架 代替原有的坐标系,可以得到局部近似曲线 :

当上述挠率 时,空间曲线退化为平面曲线,所以我们只需要考虑曲率就够了(挠率是从第三个维度 才开始出现的)。

反过来,由曲线论基本定理,当给定可微函数 ,连续函数 ,可以局部得到惟一的正则空间曲线曲线 ,分别以之为曲率和挠率。

总结

这是通过 中的曲线解释泰勒公式,事实上我们只用到了 Taylor 的三阶项。如果考虑 中的曲线,我们就会需要更多项来解释:类比曲率、挠率的概念,在高维空间需要我们考虑曲线在其余维度上的扭转和弯曲……而的高阶项可以视为来自高维空间的微小扰动。


后续

接下来有时间的话,我打算补充一下多元函数的 Taylor 公式的几何解释,不过需要我自己理清思路。以上内容来自沈一兵老师的著作。

参考

  1. ^ 沈一兵《整体微分几何初步》



  

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