数学好的人去搞生物是种怎样的体验？ 第1页

我又要占坑了……

我来回答了， 这一题的话， 我属于新题老答， 原回答在

此处再复制一遍，我觉得也挺合适的（一稿多投警告）

凑巧硕士是在纽约大学读的， 当时作为研究性学习， 跟着Charles Peskin教授学习了一段时间的immersed boundary method，了解了一些心脏和心血管流体仿真的算法和模型，就斗胆来谈一谈。

注：以下内容全都翻译自于纽约大学柯朗数学科学院Charles Peskin教授的课件手稿，所有的图片，动图，及推导过程，仅作为分享知识之作用，版权归原作者所有，我本人不对翻译内容宣称任何著作权，但如果有任何人尝试对此回答所载之内容进行转载，并用于收益之目的出版，一经发现，我必将联系原作者对侵权行为追究到底。

Claim: all the following content in Chinese(including figures, animations, and mathematical notations) are majorly translations from Peskin's hand-written class notes, solely for the purpose of knowledge sharing(or advertising this beautiful method), copyright belongs to the original author. Please do not use the content for commercial purpose.

心血管流体动力学， 属于physiology的研究范畴，是一个横跨医学，生物，物理，数学与应用数学，以及计算机科学多个学科的综合性工程科学。

在我们进入更详细的各个正题之前，先展示一下CS Peskin教授与David McQueen 以及Estarose Wolfson做的心脏跳动与流体仿真的算例来作为一个引子：

更多的不同视角的动图可以在以下网页看到：

为了进行这样的心跳仿真，需要先建立出心脏的几何结构，由于心肌及心管瓣膜是由很多极细小的纤维按照一定的物理和几何规律编织而成的，所以这个物体的建模，不能像普通物体那样随意地使用autoCAD类的建模软件来完成。

在Peskin的手稿 III. The Differential Geometry of the Heart (.pdf) 中详细地描述了建立心脏模型的方法，我在此仅对部分做译制，感兴趣的读者可以详阅原文以及观看Peskin本人的公开课做更多的了解。

为了分析心脏瓣膜的几何结构，Peskin从分析瓣膜的静态几何纤维形态开始入手，给出了力平衡等式，考虑如下形态的一个微元：

其中，

为纤维沿着u方向的导数，即纤维的走向，是一个单位切向量

为垂直于纤维的方向，

两者的叉乘 为垂直于这个纤维微面的方向*微面积，在力平衡条件下，如果整个纤维面承载着一个压强，则整个面沿面法线方向的压力大小为

它会与纤维微面两端的拉力平衡掉，即下图中的第一个等式：

若对 对u进行偏导，则我们可以将之放入积分运算，并移除积分号（equilibrium holds for infinitesimal du），得到第三个等式， 其中两个分量是垂直的（切线方向和法线方向，所以必定二者都为0）， 于是乎

，则T与u无关， 是一个关于v方向的函数。

注意此时的 实际上是纤维的principal normal，法线部分的等式实际上意味着纤维的法线方向的导数平衡掉了面法线上的压力。所以principal normal是和面法线方向重合的，所以纤维的走向是geodesic的。

这个等式混合了几何和动力学的变量所以接下来，Peskin通过换元法消去了动力学变量， 而独留下几何关系。

其中最后这个等式的几何意义是这个表面在v方向沿着fiber上任意点的binormal方向延伸， 延伸的“速度”大小是当前点沿着u方向的曲率。

在公开课中Peskin提道：“形如上式的偏微分方程还在很多其它的问题中被发现， 比如非线性薛定谔方程，涡旋和liquid helium的方程， 而事实上此处我们将使用这些数值方法求解这个方程“， 他紧接着赞叹" it turns out nature only has a limited bag of tricks and the nicest part being in math is that we are able to find the connections although they may come from completely different fields"（看来自然似乎有自己有限的招数， 而做数学方法最棒的就是我们能发现完全不同领域的现象的规律的内在联系）。

接下来，Peskin介绍了求解这个方程的数值方法， 并指出所得到的方程可以使用fix point iteration求解， 随后给出了计算结果。请参考原课件 for详细的内容。此处仅摘抄展示计算结果：

如果大家在潮汕火锅店吃过“胸口油”这个食材的话， 你们会发现这两个是一个东西

完成了心管瓣膜的建模， 接下来是心肌纤维的建模，一些解剖学的手稿指出心肌纤维的走向也具有十分有趣的结构：

为了分析心肌纤维的几何结构，Peskin还是从构造平衡方程开始。

假设 是空间中任意点心肌的纤维方向，

给出如下假设

在公开课中，就这个slides， Peskin指出以下几点

这里的守恒方程存在微小的漏洞，因为心脏是个快速跳动的物体，而跳动会带来额外的加速度，所以不太可能压力正好和心肌纤维产生的合力平衡掉，但他认为这两个之间的差别也应该很小，（我认为由于心肌的主动运动收缩在驱动心脏的跳动，所以每个状态都近似quasi-static的），于是这个守恒近似成立。

总的来说，这几个假设建立了心肌运动的力学守恒条件， 认为心肌纤维的通量是守恒的， 并假设它有一定轴对称的形式，而对于其中的第5点，Peskin认为可能并不是一个很好的假设，只是按照这样做也没发现太大问题， 他指出，对于thick wall来说仍然是一个开放问题。

用微分算子替换爱因斯坦记法，会得到如下式子：

此时， 我们也许会想考察一个特例：

的情况，

此时就会得到

(沿着纤维方向的压强的导数为0， 即沿着同一纤维， 压强为常数）

又因为面法线和principal法线重合，所以沿着p=c方向的纤维是geodesic的。

可是， 这个特例不成立！！ 这个特例不成立！！这个特例不成立！！

Peskin解释说，以下是心肌剖面的示意图， 我们大致认为其腔内有一个压强然后腔外有另一个压强， 姑且认为是大气压，或者0， 压强6相等的面大致是如蓝色笔所描绘的等值面，而我们的观察告诉我们， 心肌纤维的面差不多是像紫色笔标注的面那样像是一个套一个的甜甜圈。这其中没有任何的可能心肌方向和压强常数的方向重合。所以这个特例不可能成立。

虽然这个特例不成立，那如果这个肌肉壁十分地薄，只有 厚呢？ 直观地想象，似乎在厚度趋向
的情况下， Fiber surface是可以和压力等值面趋向于重合的。那个时候，纤维就可以是geodesic了。

Peskin写下了关于这个厚度的curvilinear坐标系，给出了这个坐标系下的方程， 并通过渐进分析（asymptotic analysis），整理出了 项的方程， 随后得到了在这个thin wall假设下，fiber的走向趋向于geodesic的结论，也就是说在心肌厚度相对于整体要研究的问题尺度比较小的情况下，geodesic的构造心肌纤维，可能就足够好了。如下摘抄3页课件， 请详见

到此为止的推导可以说是通过一系列思想实验来验证心肌建模geodesic近似的可行性，在实际操作中，Charles Peskin和David Mcqueen通过一系列的圆锥及其geodesic线来建模出心肌纤维的分布，详细的过程记录在论文

和论文

中（注意第一篇似乎还顺手投了个SIGGRAPH98）。

值得注意的是，这样一个看起来很“机械化”的心脏，一旦给定了正确的物理参数（纤维的弹性，心血管出的血压条件）等后，在运动时就展现出我们熟知的比较“圆润”的形状了：

也是我们一开始看见的动图。

用于模拟这种弹性纤维和流体互动的数学方法是Immersed boundary method，关于它的推导又有很多的内容了，我将不在此展开，希望感兴趣的读者移步

那么个人也在闲暇的时候复现过有关于心脏建模的偏微分方程，这是我求解得到的动脉管瓣膜， 3瓣的其中一瓣， 120度角旋转对称：

以及以前硕士时期做研究是写的GPU-Immersed boundary simulator 做的静脉血管-瓣膜开合仿真：