为什么随便在计算器上按个数，然后多次按 cos 键，结果总是趋近于 0.73几？ 第1页

假设我们从y＝x＝1开始，红色的箭头是迭代过程，黄色的圆圈所圈出的点就是每一步迭代计算的结果。黄色的圆圈逐渐逼近y＝x和y＝cos(x)的交点，不断地重复计算，这个圆圈所圈出来的点的纵坐标就越接近方程x＝cos(x)的解。

有朋友需要继续讲一讲不动点迭代法的收敛性，也有朋友询问这个方法的用途，这里就再补充一下好了。用途当然就是解一些难以手算求解的方程了，不过速度会有些慢。

我们先给出不动点迭代法（简单迭代法）的两个收敛定理（相关证明可以参考一些数值分析的教材）

定理1　大范围收敛定理
设函数 在 上连续，在 上可导，且满足以下两个条件：
（1）当 时， ；
（2）当 时， ，其中 为一常数。
则有如下结论：
（1）方程 在 上有唯一的根 ；
（2）对 ，迭代公式 产生的数列 且收敛于 。
定理2　局部收敛定理
设 ， 在包含 的某个开区间内连续。如果 ，则存在 ，当 时，由迭代公式 产生的数列 且收敛于 。
定理1指定了一个固定的区间 ，在这个区间里面任取一点 作为初始值，迭代都是收敛的。
定理2没有指出 的值是多少，只是说明了它的存在性。所以在满足定理2的条件时，只要 足够接近 ，迭代公式产生的数列都能收敛于 。

我们回到原来的问题中。迭代公式 ，根据定理1，
“随便在计算器上按个数”的意思就是任取一个 ，那么第一次按下[cos]键或执行“cos(Ans)”计算都能使得 ；
再迭代一次， ，
根据余弦函数的性质，对于 以后的 ，都能满足 。

然后这个时候的 时，都有 ，
即 。
这样定理1的两个条件都满足了，当然也就能确定以下结论：

（1）方程 在 上有唯一的根 ；
（2）对 ，迭代公式 产生的数列 且收敛于 。

经过计算器实际的计算，我们可以得到 。

我们再举一个例子：求解方程 。

构造函数 ，我们可以发现：
， ，
且当 时， 。

把这个方程写成迭代的形式： ，根据定理1，


由定理1可知在 上必有一个根，且在区间 内任取迭代的初始值，数列 必定会收敛于根 。

例如取 ，然后开始迭代。

我们仍然使用CASIO fx-991CN X计算器，为了更方便地看清迭代的过程，先把计算器设置为线性输入方式（按[SHIFT]、[菜单]、[1]、[3]），然后设置小字体（按[SHIFT]、[菜单]、[↑]、[↑]、[4]、[2]），先输入3，按[=]，再输入迭代式ln(Ans)+2，然后一直按[=]，得到下面的结果：

所以方程 的近似根就是 ，计算器给出的这个结果能保证显示的10位有效数字都是足够精确的。

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除了不动点迭代法之外，还有其他更好的方程的迭代解法，例如牛顿法就是一个很好的例子。在一些功能较多的科学计算器上，例如我们这里用的CASIO fx-991CN X，上面带有一个“SOLVE”功能，就是专门用来求方程的数值解的，它所采用的方法是牛顿法。

牛顿法的收敛速度一般要比不动点迭代法快很多，在计算器上我们可以直接输入方程（方程中的等于号按[ALPHA]、[CALC]输入），按[SHIFT]、[CALC]进入SOLVE功能，指定一个迭代的初始值，立刻就能给出解。例如：

不仅如此，在SOLVE功能之外，我们还可以在计算器上还能用牛顿法的原理来求复系数方程、带有定积分或者导数的方程。感兴趣的朋友可以阅读以下的文章：

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  hao-mo-87-6 网友的相关建议: 
      

之前我专门写过根7，根5是相同的。我列出了计算开方的10种方法，可参见这里:https://zhuanlan.zhihu.com/p/113136030

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  bu-tuo-de-tuo-yuan 网友的相关建议: 
      

之前我专门写过根7，根5是相同的。我列出了计算开方的10种方法，可参见这里:https://zhuanlan.zhihu.com/p/113136030

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  Huxley-84-43 网友的相关建议: 
      

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