请问这个完全剩余系的性质如何证明？ 第1页
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timosky 网友的相关建议:
首先你这完全剩余系定义跟我见过的不一样……应该把余0也加上吧。不过这个不影响结论，毕竟你可以把两个0放在一起凑成0×0=0。
现在考虑1到n-1，将其以某种方式排列，形成完全剩余系a₁到aₙ₋₁，再排列，形成完全剩余系b₁到bₙ₋₁，对应相乘并模m，得c₁到cₙ₋₁。最后要证这些c不是完全剩余系。
首先是m=p（p为素数）的情况，这个比较简单，注意到(p-1)!≡-1(mod p)即可：所有a与b乘到一起，模p余(-1)²=1，而所有c乘到一起，模p余-1，矛盾。
对于m=dp，p为质数，d≥2的情况，我们先假设可以形成完全剩余系。这里有个有趣的地方（下一段给出证明）：当c为d的倍数时，对应的a与b也应为d的倍数。于是我们可以找出(p-1)组均为d的倍数的(a,b,c)。取出，除以d，即得“p的完全剩余系乘以p的完全剩余系得p的完全剩余系”，与上一段结论矛盾。
下面证明这个“有趣的地方”：注意到，只要a和b其中一个是d的倍数，对应的c中就含因数d。故而为d倍数的a仅能与为d倍数的b配对，否则产生的为d倍数的c就变多了。
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