面积与体积的精确定义究竟是什么？ 第1页

引子

面积和长度可以类比：

线段 长度为 是什么意思呢，也就是说 的长度是单位线段的一又二分之一。

面积也是同样的道理，只要我们定义了单位面积，那么其余的面积都可以以单位面积去度量。通常，我们选择单位正方形来定义单位面积，我想这个无需解释。

于是，我们有了计算矩形面积的公式：

例：矩形每行有 个单位正方形(即长为 )，每列有 个单位正方形(即宽为 )，由乘法原理，我们知道矩形是由 个单位正方形构成，于是它的面积即为 。

推而广之，矩形面积 =长 x 宽。由割补法，可知平行四边形面积公式；三角形是等底等高平行四边形面积的一半...

所以到头来，其实我们只知道像矩形这样规则图形的面积，而对于不规则图形面积的定义，实际上只字未提。

对于不规则图形的面积，我们该怎么办？

面积的定义

计算地图上某一地区的面积（比如北京），一般的方法是: 先用直尺在地图上画等大的方格，越细密越精确，然后我们数数落在“北京”范围内的方格有多少个（更聪明的方法是数十字交叉点），然后再乘以每个小方格的面积，最后别忘了乘比例尺的平方，于是就得到北京地区面积的近似值。（以上做法的依据可以查看皮克定理。）

将上面的过程抽像化、符号化，就得到“面积”的定义：

对于区域 ，可以没有重叠地将 个矩形覆盖，将这 个矩形的面积之和记作 ，若序列 的上确界存在:

即为区域 的“面积”。

实际上，在测度论中，我们称上面所定义的面积为内测度。

仿造内测度，还可以定义外测度，即是区域 被一系列矩形所覆盖且没有重叠的部分，那么这些矩形面积之和的下确界就是外测度。

而面积现代定义是：当区域 的内测度与外测度等于同一数值 时， 就是 的测度，也就是面积。

通俗地说，就是我们由从“内”和从“外”两种方法去逼近同一区域，这个过程的极限就是所求的面积。可能有人觉得没这个必要，但是的确存在不可测的集合，也就是说它内外测度不相等，这就属于题外话了。

无界区域的面积

刚才我们似乎对区域 的有界性或者无界性并未强调，那么刚才的定义还适用于无界区域吗？

比如上图中红色折线与坐标轴围成的无界区域记作 ，在塞进去一个面积为 的矩形，还有多余的空间；再塞进去一个面积为 的矩形，还有多余的空间……继续以上步骤，剩余的面积越来越小，趋于 ，那么我们认为这个区域的面积是：

这就是我们对无界区域运用相同的定义所获得的结果。

参考书目：

•随便一本数学分析关于黎曼积分的内容

•随便一本实变函数关于测度的内容