如何证明将任意3的倍数各数位数字立方求和，重复数次后得到固定数值153? 第1页

我有一个「暴力」的证明方法.

设 . 各个数位立方再求和，我们将之记为映射

我们记 . 至于为什么 把 3 的倍数映射为 3 的倍数，只需观察公式：

不过这并不是重点，接下来才是——

我们考察什么时候 迫使 下降到 ，即 .

我们考虑极端的情况. 若 是 位数，则

解此不等式，当 时，此不等式恒成立. 这意味着无论多大的数 ，经过 的反复作用后，都不会超过五位数，偶然达到五位数必然会碰到「天花板」而向下反弹.

所以，只需要用计算机把不超过五位数的数字（3 的倍数）全部验证一遍就够了……

编一个程序简单验证一下：

       # R语言 f <- function(n)    #3|n {  g <-function(n)    #将数字n各个数位拆分为向量  {      n = strsplit(as.character(n),'')[[1]]      n = as.numeric(n)      }  n = g(n)  L = length(n)  repeat  {   n = sum(n^3)   print(n)    #展示每一次计算的结果直至遇到153停止   if(n==153)break   n = g(n)  } }  h <- function() {  for(i in seq(3,99999,3)) f(i)         print("excited!")    #如果正确，则输出"excited!" } system.time(h())   #程序运行所需时间     

运行结果：

       [1] "excited!"    user  system elapsed    0.937   0.007   0.941      

说实话验证效率太高了，连 秒都用不了……

至于纯数论的方法，我就当围观群众吧～

如果不那么暴力（尽管还是借助了计算机），我们也可以展示为什么153是不动点.

事实上，如果把条件放松， 不必是 3 的倍数，那么 153 并不是唯一的不动点：0、1、153、370、371、407 都是 的不动点. （0、1是平凡不动点，一般我们就省略不谈了）.

另外，除了不动点，还有很多循环圈（不包括不动点）：

而 153 作为唯一可以被 3 整除的不动点，再加上我们前面说明了 的两个性质：

• 把 3 的倍数映射为 3 的倍数；
• 多次复合，一定可以将任意自然数锁定在一个自然数的有限集合 中.

巧合的是，所有的循环圈都不包含 3 的倍数，那么 153 只能是唯一的归宿.

至于高次的情况，分析方法照搬就行，但是都没有 3 次这么简洁的结论.

这个不成立吧！

举例说99

各数位的数字是9和9

对这两个数字求立方和是729+729=1458，哪里来的固定数值153?

好吧，问题被修改了，但是还是不严谨，应该是

将任意一个3的倍数n(n不为0)各个数位上的数字进行立方求和，得到新的和数后重复之前运算，有限次重复后总能得到153。

两个条件必须具备

1是n不能为0。

2是必须是有限次重复。

暂时就这两个问题，至于证明，我还在想……