为什么费马大定理在数学史上的地位如此重要？ 第1页

多图慎入。费马大定理在数学史上有名的主要原因有三个：

1. 问题基本，长时间（350年）悬而未决，N多数学大师竟折腰。

2. 研究问题过程中产生了新方法新思想，比如理想数。

3. 涉及谷山—志村猜想，是现代数学大热门朗兰兹纲领的重要组成部分。

中秋节快到了，明月高悬，写一篇高级科普文（大三难度）讲解费马大定理的现代证明以寄之。

以上科普内容是大二水平，能看懂上图中的数学科普内容，说明数学基础不错。下面进入大三水平，具体讲解Wiles证明费马大定理的数学框架，前提是要求读者懂抽象代数和复变函数。

总纲：谷山-志村猜想断言一个等式几乎处处成立a_p(E)=a_p(f)。这里a_p(E)与三次代数曲线～即椭圆曲线E mod p解的个数有关，a_p(f)来自某类称作模形式的全纯函数傅立叶系数。等式左边等于作用在伽罗瓦群上某同态某特征标（本质是矩阵的迹），等式右边等于另一个作用在伽罗瓦群上的同态的某特征标。最后证明这两个作用在伽罗瓦群上的同态是同构关系，从而对应特征标相等，等式成立。

模函数可以看成两个权相同的模形式之比。谷山—志村猜想的一种等价表述为：有理域上任意椭圆曲线可以被模函数单值化（参数化）。

曲线。

回到模形式。满足a1(f)=1的尖点形式称为特征形式。

Hecke算子定义如下：

实际上Hecke环T还需要满足其它条件，这里出于科普考虑简化了表述（严密性自然削弱）。

证明费马大定理过程中，伽罗瓦表示采取两条路线，一条来自椭圆曲线加法群（3-分点）诱导出的表示，另一条来自模形式诱导出的表示。

写到这里，科普基本可以结束了。只要证明这两个表示同构（从而对应特征标相等）即可证明费马大定理。但直接配对儿很难，实际证明是用两类环R和T来分别参数化两类伽罗瓦表示的。然后证明两个环是同构关系R=T.

如此我们需要的那个Hecke环到C的关键同态是存在的。

Wiles证明环同构（主定理）R=T等价于证明一个不等式（以下内容非大三，可以pass）

这个不等式的具体证明相当高深，Wiles论文难度最大的地方就是证明它（涉及诸如Selmer群上界估计等等），过程也一波三折。感兴趣的同学可以参考他的两篇论文。如果你能看懂这个不等式的数学证明，则可以认为懂费马大定理的证明了（反正我是看不懂这个不等式的证明）：

有趣的是在证明这个数值不等式过程中，L-函数又出现了，这个神秘的数学工具是zeta函数的推广，经常出乎意料出现在数论问题中，显得神秘莫测：

当然若抛开那个数值不等式，单就本科普文来说，知识点涉及学科虽多，但都是很基础的入门级别，已经回避了万有形变等更复杂的概念。文章其实就讲一件事：某两个群同态之间是同构，从而同态像对应矩阵的迹相等。

写到这里可以收笔了，祝大家中秋快乐！送上一副玄幻仙侠漫画：

～～～中秋后补充（Wiles进攻TS路线图：学过抽代的大四版科普）～～～

最后，附上我心中的当代数学男神Wiles图片。一个纯粹的人，一个真诚的人，一个脱离了low趣味的人。

Wiles今年又收获了Abel奖，网上看到委员会推出的一个不错的科普lecture（类似ppt讲座），如下图，感兴趣的读者可以看看。不过，这位演讲者也略去了Selmer群上界估计的不等式内容，没有写进来。

试着整理下费马大定理的证明概要，思路较乱，有些地方可能不严谨，也未细致排版。不过只要能按照思路认真顺下来，掌握数学分析和基本的初等数论，大二左右的水平即可读懂这个概要.当然大量具体的工具、证明技术和细节是深不见底的.以下主要出自Joseph H.Sliverman的数论概论第43-48章.

我们至少要从椭圆曲线开始。椭圆曲线是由形如的方程给出，其图像一般如下：

定义其判别式为

.

我们一般研究它的整数解、有理数解和模素数p的解。

有理数解的求法有Mordell定理：如果，则有E上的有限个有理点，使得E上所有有理点都可从这r个点出发，运用下述办法获得：取通过一对已知点的直线，找出其与E的第三个交点，将其关于x轴的对称点作为一个新点。

如果E上有有限个点集，连接它们中任一对点的直线L与E的交点都在这个点集中，则称这个点集构成一个挠点系。关于挠点和挠点系，有以下几个重要的定理:

Nagell-Lutz定理：挠点都是整点，且时，.这个定理表明挠点都是整点，但一条椭圆曲线的整点不一定在挠点系中，如上的整点不在它的任一挠点系中.

Mazur定理：挠点系中至多有15个点.

Siegel定理：如果，则E上只有有限个整点.其证明最终依赖于丢番图逼近理论中断言的某种数不能被有理数逼近得太好的深入结果.

求有理数解有时十分困难，下面我们讨论其模p的解。以为例，我们可以求出对于每个素数p，E上模p的点的个数的值：

p： 2 3 5 7 11 13 17 19...

： 2 3 5 7 11 19 15 19...

对于许多素数p（2,3,7,11,19,23,31,43,47,59,67,71，……），。事实上可以证明如果，则模p恰好有个点。

有时比p大，有时比p小，但一定在p附近。我们将二者的差定义为椭圆曲线E的p-亏量。关于的大小，有如下的Hasse定理：.

我们研究椭圆曲线,

为无穷乘积

将其展开可表成和式

人们发现对于素数，E的p-亏量就等于，这称为模性模式(modularity pattern).

著名的谷山-志村猜想是：每个椭圆曲线E都可模形式化，即E的p-亏量具有模性模式，即存在级数，使得对（大多数）素数p，系数等于E的p-亏量,且具有复分析中的一种优美变换性质，这里具体不作描述.

以上讨论的都是椭圆曲线的内容，看起来跟费马大定理没有什么关系。1986年Frey发现了费马大定理与椭圆曲线的联系并认为这是“进攻”费马大定理的新途径。显然，只需要考虑费马方程中指数为素数的情形。Frey的想法如下：如果费马方程有非零整数解，则考察椭圆曲线，这个椭圆曲线现在称为Frey曲线.其判别式

是个次方，这是如此不寻常以致Frey认为这样的曲线根本不存在，更精确的说，他猜想E是如此奇怪以致它的p-亏量没有模性模式。Serre把Frey的猜想作了进一步的提炼，1986年Ribet证明了且时Frey曲线不具有模性模式。

受Ribet工作的鼓舞，Wiles花了六年时间试图证明每个（或至少大部分）椭圆曲线具有模性模式。最终他证明了每个半稳定（一个椭圆曲线是半稳定的，是指对不好的素数,为1或-1，不好的素数p指在模p下，椭圆曲线有重根，可以证明p就是E的判别式的素因子）的椭圆曲线具有模性模式；由于Frey曲线是半稳定的，这足以导出费马大定理，其概要如下：

1.设是素数，假设有非零整数解且.

2.设为Frey曲线.

3.Wiles定理告诉我们是有模性模式的，即p-亏量具有模性模式.

4.Ribet定理告诉我们奇怪到没有模性模式.

5.上述矛盾导致我们得到方程没有非零整数解.至此费马大定理得证.

如果要说为什么费马大定理在数学史上的地位如此重要，Wiles的一句话即可说明：“判断一个数学问题是否是好的，其标准就是看它能否产生新的数学，而不是问题本身。”Hilbert早在百余年前就把费马大定理喻为“一只会下金蛋的鹅”.1996年，Wiles和另一位大神Langlands分享了10万美元的沃尔夫奖.1998年颁发菲尔兹奖时，由于菲尔兹奖只能授予40岁以下的数学家，大会破例给他颁发了一个特别贡献奖:一块国际数学联盟银牌.这也是迄今为止大会授予的唯一一个特别贡献奖.值得一提的是,提出谷山-志村猜想中的谷山丰(Taniyama Yutaka)于1958年11月结婚前自杀.如果他泉下有知他的猜想在数十年后得证并能导出费马大定理,不知作何感想.