用人话来解释下模空间是啥？ 第1页

如果给数学家做一个分类，那有一部分数学家其实是分类学家。他们和动植物分类学家、天文地理分类学家基本没什么差别。不如说学习就是分类，科学（数学）就是发现新事物新现象并在各种意义下进行分类。

当分出的类型越来越多，分类越来越精细，类与类之间有越来越不可忽略的关系，类型构成的集合乃至有了一个空间的结构，成为了几何对象，就可以叫模空间。

而数学的分类有一个特点，带有量化，说一不二，两类之间不可能模棱两可，什么时候是一类，什么时候不是一类，毫无争议。

比如我们从箭毒蛙的分类说起（为什么是箭毒蛙，可能只是觉得它很可爱）。一般箭毒蛙是什么颜色，有什么纹路就叫它什么名字，比如红（橙黄绿蓝金）色箭毒蛙，红（橙黄绿蓝黄）带箭毒蛙，红（橙黄绿蓝黄）条箭毒蛙，以及背部和腹部颜色比较突出，就叫红（橙黄绿蓝金紫）背箭毒蛙，红（橙黄绿蓝金）腹箭毒蛙等等。不过这都不是它们的学名。

但还有一些比较绚烂的，它们看起来腿就像穿了破洞丝袜。如果是数学家，对于这种难以用常规方式描述的物种，就会简单叫它exceptional，就是例外的意思。

那分类就要首先给出分类的法则，数学家就用数作为分类法则。首先假定已经对颜色分类（通过其光谱频率，用左开右闭区间），分成有限种颜色。定义箭毒蛙的颜色为在自然光下相关范围光谱频率占其体表面积（勒贝格测度）除黑色外最大的颜色。然后定义该箭毒蛙为该色箭毒蛙。那如果娃的颜色模型恰好是个两面体，每个颜色占一面于是面积相同，那就定义其为背部最大面积颜色背箭毒蛙，然后背部不行再腹部，剩下的叫做exceptional箭毒蛙。这样我们就给出了箭毒蛙的完全分类，每一类互不相交。

但上述箭毒蛙的分类是有限的，甚至“离散”的，意思是如果每一类表示一个点，那这些点并没有什么几何上的关系，各自相对比较独立。在数学上，类似的比如用亏格分类二维曲面、分类拓扑四维流形相交形式、分类曲面上的拓扑向量丛、分类半单李代数等等。

当然分类都是从简单到复杂，从粗略到精细。因为一级一级地往下分，所以有生物中的界门纲目科属种分类法。

不过在生物的每一级分类中，同一层级的类型都是有限或离散的，在数学中却不是这样，在某个层级的分类下出现了要用空间中那么多点去表示情况。

回到箭毒蛙的分类。有哲人说世界上没有两只完全相同的箭毒蛙，但是我可以说世界上可能有两只红色所占体表比例在0.1到0.2之间的箭毒蛙，或者有两只红色所占体表比例在0.19到0.20之间的箭毒蛙（我们无法证明不存在，所以可能有）。那假如可见光只分为七段颜色，红橙黄绿青蓝紫，我们就有一个映射,

把一只箭毒蛙X映射到 ， 表示红色所占体表比例， 表示橙色所占体表比例，依次类推。然后我定义两只箭毒蛙是同一类，当且仅当在这个映射下映到同一点。我们称这个点叫这个箭毒蛙的体色比例向量。注意这个映射的像是落在 里，如果每个点都有一只箭毒蛙来表示，那么我们可以认为A这个流形就是箭毒蛙的模空间。模空间就是分类的连续化，能通过几何表示出类与类的关系。（不过现实是 对应的每个点不可能都有一只箭毒蛙来对应，因为箭毒蛙的个数是有限的，而 是不可数的，这里就理想化了。）

为什么能表示出类与类的关系呢，假如你把亚马孙河某个区域方圆十公里的箭毒蛙抓起来放进一个 的池子 里挤着，假设挤满了，没有缝隙。那就可以定义一个映射 ，把池子 的一个点映到那个点所在箭毒蛙的体色比例向量。那由于这些箭毒蛙都在方圆十公里内，照我们人类就是一个小县城的，可能互为亲戚，体色比例不应相差太大，所以 的像的大小也不应该散布太开。

因为可以定义唯一一个映射 ，所以这就叫 这个模空间的泛性， 就是箭毒蛙的一个fine moduli space。 的拓扑、维数等几何参数也反应了在我们这种分类下，箭毒蛙种类的多样性、关联性。

实际上箭毒蛙的模空间也不一定是连通的。如果假定箭毒蛙的模空间 中一个点对应的箭毒蛙的后代中可能出现的体色比例向量为存在一条道路与其相连的那些点，我们就知道哪些点对应的箭毒蛙可能是某一只蛙的后代。更精细的，我们还可以定义 上的二元代数运算，表示两只箭毒蛙的后代的体色比例向量的可能分布，迭代后可以算出n代后箭毒蛙的后代的体色比例向量的可能分布……

回到数学。在数学中，分类一类满足某种条件的几何对象，如果条件足够僵硬（比如分类复结构），就可能会出现连续的分类：模空间。比如曲面的复结构的模空间，向量丛的复结构的模空间，还有代数几何中的很多枚举问题：与一些固定对象相交的某种几何对象的模空间。条件僵硬意味着分类要更加精细，分类精细了，一个空间那么多的类型就造出来了。

对一个更精细结构的模空间进行研究，也会使我们对最开始粗略的分类更加理解，正如对箭毒蛙科箭毒蛙属的研究显然会丰富我们对两栖纲脊索动物门的理解。

而对数学中模空间的研究方法如果转移到对其他自然科学的研究中去，相信也会焕发异彩。比如我今晚完成了对动物界脊索动物门两栖纲无尾目新蛙亚目箭毒蛙总科箭毒蛙科箭毒蛙属的分类和其模空间的一些讨论，在其他情况也一定尚有诸多待发掘之处。