这个多项式问题从何入手进行求解？ 第1页

丘维声书上的是简化版的。要求有n个根，而且都是1或者-1。

这个题目仅仅利用相同信息得不出结论，所以要再挖掘这个1的因子相关的性质。

具体如下

定理1： 是一个n次本原多项式，如果其在 上可约，则可以分解成两个本原多项式的乘积

书上有证明，比较简单

定理2：如果 是一个整系数多项式，则对任意不相同的整数a,b有 （整除）

这个直接由 得到

命题3： 是一个n次整系数多项式，如果其在 个不同的整数点上取得 ，那么它在这些点上的取值只能都是1或者都是-1

证明：假设 在k个点 上取值为1，在t个点 上取值为-1。不妨假设 即 是这些值的最大。

由定理2，知 ，所以 ， （理由 ）。

如果 ， ,推出

只有4个可能，矛盾，得证。

原题目的证明

证明：采用反证法。

不妨设 是本原多项式，由定理1知，存在本原多项式 使得 。

由 在 个整点取值为 ， 在这m个点上取值也是 (因为1的因子只有 )

由命题3， 得出 在m个点取值为1或都为-1。

所以 有 个根（或者h + 1），故 （或-1）

得证

命题3可以证明m = 6时也可以，后面多一点讨论即可，这样的话，n = 10,11貌似也是可行的。

举例，我不会，等个大佬