为什么俄罗斯的文学、数学、音乐都那么强，诞生了好多大牛？ 第1页

俄罗斯是个奇葩的战斗民族，心有猛虎，细嗅蔷薇，一年里有小半年不能出门，适合闷头憋大招。

本文（翻译自俄语）聊的是俄罗斯的数学部分，从苏联大数学家柯尔莫哥洛夫，作为莫斯科大学数学力学系教授、系主任的角度。广博精深的柯尔莫哥洛夫是鲁津的学生，培养了包括盖尔方德、阿诺尔德、西奈、Levin等大数学家的众多学生（70位博士，其中20位成为了俄罗斯科学院的院士）。

这是著名的鲁津树，最上面的是鲁津（学生有柯尔莫哥洛夫、亚历山德洛夫、辛钦、李雅普诺夫、Suslin等），左下角的大分支是亚历山德洛夫院士的学派（几何、拓扑），右上方的大分支就是柯尔莫哥洛夫。从叶卡捷琳娜大帝邀请欧拉到俄国工作（准确地说，1727年，欧拉应聘到俄国圣彼得堡科学院工作；1766年，叶卡捷琳娜亲自出面恳请欧拉重返彼得堡），到罗巴切夫斯基、切比雪夫、马尔科夫、鲁津、柯尔莫哥洛夫……传统的力量是强大的，盼望我国基础研究井喷之日到来。

柯尔莫哥洛夫，我们之中的天才：在莫斯科大学数学力学系，作为教授和授课老师，担任行政职务

柯尔莫哥洛夫曾写道：“自 1920 年以来，我的一生都与莫斯科大学有着千丝万缕的联系。”事实上，这一切开始得更早。回到他的中学时代，柯尔莫哥洛夫参加了我国著名历史学家 S.V. Bakhrushin 在莫大的研讨会，并在那里开始了他的初次科学活动——根据 15~16 世纪的抄写员记录的诺夫哥罗德（Novgorod）地区的土地关系，进行了研究。 1920年，他成为莫大物理和数学系的学生。他的第一篇数学论文的日期是 1921 年 1 月 4 日——“在数学讨论班上关于正方形划分的报告”。1987 年 6 月 13 日，即他去世前四个月，柯尔莫哥洛夫写出了给教职员工的最后一篇文字——庆祝他的学生阿诺尔德 50 岁生日。在两个日期之间有66 年，其中大约三分之二用于教师和科学工作，三分之一完全献给学校事务和发展。

柯尔莫哥洛夫对莫大数学力学系贡献是很大的。在这里，我想追忆他为大学和教职员工服务的一些事迹。他在大学的活动涉及三个领域——科学、教学和行政。科学工作将在下面讨论。让我们在这里谈谈他的组织和教学工作。

柯尔莫哥洛夫在莫大担任过许多行政职务。 1933 年（三十岁），他被任命为莫斯科国立大学数学力学系科学研究所（Scientific Research Institute）主管。据老一辈同事回忆，该研究所的主要职能之一是管理数力系的研究生院。随后，柯尔莫哥洛夫负责数力系的数学部分，研究生课程也在他的责任范围内。每个在研究生阶段有机会与柯尔莫哥洛夫交流的学生都会以钦佩的心情记住他。对于大多数研究生来说，无论是那几年还是接下来的几十年，与柯尔莫哥洛夫老师的谈话都很难褪去，并且常常为他们的科学研究开辟道路。通常，在与研究生交谈时，即使在那些似乎与柯尔莫哥洛夫的科学兴趣相距甚远的领域中，神秘而诱人的前景也会被勾勒展开出来。

柯尔莫哥洛夫老师在数力系创立了两个分部。 1935年，概率论分部成立，安德烈·尼古拉耶维奇成为首任负责人，并领导该部门超过 30 年。那是一段美好的时期：在这些年里，强大的苏联概率论学派形成了，并在世界范围内享有盛誉。是什么促成了这一点？一切都很简单：成功的原因在于安德烈·尼古拉耶维奇的伟大人格、他的慷慨、他向学生提供的丰富思想、他的科学品味和高权威，以及他认为自己有职责支持有创造力和积极主动的人，为这些人而战，保护他们，同时给予他们创作自由。

除了概率论分部，安德烈·尼古拉耶维奇还组织并领导了概率和统计方法实验室（1963 年）、数理统计和随机过程分部（1976 年）。在他生命的最后几年，老师依然担任着数理逻辑部门的主任。但当时他已经病得很厉害，无法亲力亲为了。 1972 年，柯尔莫哥洛夫成为他开创的数理逻辑必修课的第一位讲师。 1980 年，他最后一次讲了该课程。

1954 年至 1958 年，柯尔莫哥洛夫担任整个数力系的主任。这是一个精彩的故事，事情变得多了起来。作为系主任，他不得不与学生、党委、教职工、莫大校长彼得罗夫斯基等等角色交流和斡旋。当然，柯尔莫哥洛夫总是为正义而奋斗（按他理解的），至少取得了部分成功，但这一切不久就结束了：他辞职了。这里也许不是更详细地谈论这件事情的地方。无论如何，在我看来，这样的行政活动不是安德烈·尼古拉耶维奇擅长的。

接下来让我们谈谈这个话题：柯尔莫哥洛夫作为一名授课老师。大家的观点在各种出版物中反复出现，最终归结为一个普遍接受的结论：柯尔莫哥洛夫是一位糟糕的讲师。我读到过有人描述他不喜欢讲课。但这种说法显然与老师一生中开过大量大学和寄宿学校课程的事实相矛盾。他讲过包含在数学力学系课程中几乎所有必修课。特别是，他多次讲过数学分析课程（他计划在晚年写一本这方面的教科书）。 柯尔莫哥洛夫教授代数、高等几何、微分方程和各种概率论课程。他设计了全新的大学课程——综合分析 III——并且是它的第一任讲师。 （“分析III”之后的精彩课程，根据类似的计划：“线性代数与几何”，“几何与拓扑”等）。在我的研究生期间，柯尔莫哥洛夫正在讲关于熵、经典力学、测度论和随机过程的课程。正是通过这些课程引导了V.M. Alekseev、阿诺尔德、Y.K. Belyaev、V.D. Erokhin、V.P. Leonov、西奈、A. N. Shiryaev 和许多其他人。

我记得 1955 年秋季学期的最后一堂课，那是分析 III （上）的末一讲，关于动力系统理论，几乎完全由“选修”材料组成。那次讲座从动力系统的定义和几个例子的演示（特别是伯努利检验）开始，讨论了遍历性和庞加莱-卡拉西奥多里（Poincaré-Carathéodory）回归定理；强大数定律被用作例证。然后老师给出了经典力学动力学系统的例子，证明了相空间体积守恒的Liouville定理和具有不动点的物体旋转的回归定理。最后，他们谈到了与太阳系稳定性相关的各种假说（该理论的最终结果KAM理论，在柯尔莫哥洛夫自己创建的讲座前一年（1954年）提出，八年后由他的学生阿诺尔德证明）。我再也没在任何别的一次演讲中见识到从理论起源讲到其现状、并展望未来诱人前景的概述。

而且，柯尔莫哥洛夫为广大数学听众做了多么精彩的讲座！他的“自动机与生命”讲座坐满了可容纳1000多人的大学文化宫，人们挤站在过道上，两个大礼堂 01 和 02（每个有 400 个座位）都配备了收音机，且也人满为患。安德烈·尼古拉耶维奇当时取得了那么大的成功，但在这一切之后，仍然有人认为他是一个糟糕的讲师。

柯尔莫哥洛夫的大量讲座没有被记录下来，实际上已经永远消失了。这是一个遗憾！ ......但遗憾已发生，无从补救了。 开设了随机过程理论的专题课程后，安德烈·尼古拉耶维奇让他的学生 Viktor Leonov（于 1960 年在山中不幸去世）做笔记，以便将来以书的形式出版。Viktor非常小心地保存了这份摘要，修复了所有草图或遗漏的段落。这花了很多工作。事实上，整个星期——从讲座到讲座——他都在改进书稿。最后，Viktor把他的心血带到了安德烈·尼古拉耶维奇那里。我们的老师在一个巨大的文件夹中翻了一会儿，然后惊呼道：“上帝，我们有了一个怎样的奇景！”Viktor后来谈到这件事时，我们聊得很开心！生命似乎没有尽头，修订这个“奇景”并出版一本书很容易（毕竟课程非常丰富有趣）。但命运无常：Viktor死了，安德烈·尼古拉耶维奇再也记不起课程或书面概要。老师的许多课程和个人讲座也遭遇了同样的命运。

我还想在这里至少简要提及一项教学创新：一个小参数方程的数学研究会（workshop），由柯尔莫哥洛夫开创和指导了一段时间。 （显然，这里已经没有材料可参考了，我询问的参与者只保留了模糊的记忆）。我想强调的是，那些年这些问题引起过众多伟大数学家的兴趣，他们（Dorodnitsyn、A.N. Tikhonov、庞特里亚金和 VASteklov等）的成果获得了无数的荣誉和声望。 研究会上，柯尔莫哥洛夫在他的学生的帮助下，有时会更进一步：他阐明了渐近性，改进了方法，并收集了必要的统计数据。可惜这一切都失去了！

当然，我还必须说一下他的讨论班——1930~1970年代的数学和力学讨论班，这通常集中一个研究主题。在我看来，莫斯科大学数力系在过去半个世纪里是世界上最好的数学教育机构。其主要基础是它的讨论班。它们的传统起源于 1914 年叶戈罗夫 (Egorov) 举办的小型讨论班，主要参与者有四位——亚历山德洛夫、D. Menshov、M. Suslin 和辛钦。然后是亚历山德洛夫和乌雷松的拓扑圈子，柯尔莫戈洛夫和辛钦的概率论讨论班，Petrovsky-Sobolev-Tikhonov 偏微分方程讨论班，Stepanov 和 Nemytskii常微分方程，N.K. Bari和Menshov函数论，B. V. Shabat 和Markushevich复分析，AI Plesner 泛函分析，AO Gel'fond 数论，Kagan 微分几何，Oleinik 和Vishik偏微分方程，更不用说存在了 50 多年的盖尔方德讨论班。这个清单还在继续。我们老师的这些研讨会被下一代数学家的精彩研讨会所取代 - 阿诺尔德、诺维科夫、Yu.I. Manin、西奈、V.M. Alekseev 等。

最有趣的讨论班之一是已经提到的柯尔莫哥洛夫和辛钦举办的关于概率论的，其从 20 年代末持续到 60 年代初。对于所有概率论学者来说，这是真正的圣地。

但安德烈·尼古拉耶维奇仍然是组织“不定期讨论班”的非凡大师。他在 1953 年宣布举办经典力学讨论班，奠定了 KAM 理论的基础。 1955 年，他宣布召开函数叠加讨论班，并在解决希尔伯特第 13 个问题方面取得重大进展；同年，他宣布举办递归函数讨论班，在数理逻辑方面取得了巨大成果；我参加了他五十年代关于信息论和动力系统的精彩讨论班，几乎每周都有新的杰出成果报告。

柯尔莫戈洛夫是一所优秀数学学派的领袖，这里我想列出安德烈·尼古拉耶维奇的嫡传弟子，他们在不同的年份担任我们系的教授。他们是：Alekseev,、V. I. Arnold、Yu. K. Belyaev、 L. N. Bolshev、A. V. Bulinsky、Gel'fand、B. V. Gnedenko、R. L. Dobrushin、Dynkin、IG Zhurbenko、VM Zolotarev、Rozanov、Sevastyanov、 Sinai、V. M. Tikhomirov、Y. N. Tyurin、V. A. Uspensky、S. V. Fomin、G. E. Shilov、A. N. Shiryaev、A. M. Yaglom……。我怀着温暖的心情念出我的朋友和同事的名字，他们与柯尔莫戈洛夫的名字团结在一起。在我看来，我们从未曾做过无益举动来让我们对伟大导师的回忆蒙尘。我们都保留了对老师的感激之情和深厚的团体归属感。

1 本文译自В. М. Тихомиров教授（英文作Tikhomirov，中文作季霍米洛夫，柯尔莫哥洛夫的嫡传弟子，approximation theory方向）为数学大师柯尔莫哥洛夫写的纪念文章《Гений, живший среди нас》，原文是俄文，Тихомиров教授写得非常生动、真挚。

2 阿诺尔德（柯老的博士，Wolf奖）在一篇文章中讲到：”我在学生时代就认识了安德烈·尼古拉耶维奇。 他当时是莫斯科大学数学与力学系的主任。 那时正是数力系和俄罗斯数学的全盛时期。柯尔莫戈洛夫和Petrovskii院士的领导的首要的，数力系因此达到了以前从未达到过的强盛，以后也很难再达到了。“

3 本文源于我的专栏柯尔莫戈洛夫的世界，其中有更多关于柯尔莫戈洛夫大师的材料。