为何这么多人称赞指标定理？ 第1页

利益相关：我就是做指标理论方向的。

被人拉过来写这个答案是有人开玩笑地就某个答案来问我这个方向是不是过时，还有没有存在的价值。我看了一下 @李归农 的答案，很多描述我居然都挺认同。毕竟指标定理已经有50多年的历史，在许多大数学家的努力下，指标定理的热核证明已经简化到了可以作为优秀本科生课程论文的程度。就像他说的那样，变成了“人类思维模式中的一部分”。我认为这是对指标定理的至高评价。

但指标理论这个方向离死掉应该还有很远。因为随着时间的发展，名字的语义内涵都发生了变化。就像辛几何，指代范围从欧拉拉格朗日方程，哈密顿方程 到 moment map，辛约化，凸性定理，Floer 同调再到 已经听不懂的 Fukaya category 等等，内涵已经翻天覆地，但学者出去做自我介绍还是要说自己是辛几何的一样，指标理论这个方向的内涵也已经超出Atiyah-Singer指标定理很远了。（目前我们叫这个方向是Index Theory, 而不是 Index theorem）

用一句话来描述一个方向很容易被简化误解：代数几何是研究多项式零点的，指标理论是研究指标定理的，辛几何是研究辛结构的等等。这种说法只能用来科普，错倒不错，但范围太窄化了。

个人以为，我了解到的目前指标理论的研究内容大概是 “应用指标定理相关的各种方法技巧，通过谱不变量建立从局部到整体的桥梁，来尝试解决各个数学方向中出现的问题。”这个说法很抽象，也只是个人见解。（而且像Weiping Zhang，Xiaonan Ma这些大家，在很多工作中都已经跳出了谱不变量的框架，直接用其中的思想来处理各种问题）

比如指标几乎是最简单的谱不变量。它只是零特征空间的维数差。接下来我们可以看两个比较复杂的谱不变量：

1）解析挠率：考虑一个紧流形上的自伴Laplace算子，记所有非零特征值为 ,（不计重数）类比于数论中的黎曼zeta函数，定义

可以证明当s 实部充分大的时候，级数是绝对收敛的，所以是收敛域上的解析函数，把它亚纯延拓到整个复平面，可以证明它在原点解析。 就叫做解析挠率，它相当于Laplace算子的某种行列式，可参考匿名用户：行列式的本质是什么？。

2）Eta 不变量：考虑紧流形上的一阶自伴椭圆算子 D, 记所有非零特征值为 ,（不计重数），定义

sgn 是取值在 上的符号函数。类似的，当s 实部充分大的时候，级数是绝对收敛的，所以是收敛域上的解析函数，把它亚纯延拓到整个复平面，可以证明它在原点解析。 叫做Eta不变量，它相当于D的正负特征值个数差。

比如这些就比指标要复杂得多，不同的谱不变量的各种推广还可以变出非常多的花样，而且是很多数学领域的交叉点。@李归农 朋友可能被一些人误导了，要想学好指标理论需要了解非常多的数学方向。就我个人而言，学习和研究中分析，代数，几何，概率，数论，拓扑等等都用到过非常多研究生以上级别的知识。

举些例子：

1. 从那两个谱不变量的定义可以看出来，对他们的分析自然会用到一些解析数论。但不止如此，解析挠率的复几何版本：全纯挠率，在算术代数几何，Arakelov几何中扮演了关键的角色，是算术黎曼洛赫定理的重要组成部分。这个故事大家可以参考Soule的书《Introduction to Arakelov Geometry》和Faltings张寿武的书。可惜就我个人而言，在Arakelov几何上花了很多时间，但一直到不久前都不得其门而入。事实上，这个应用的Motivation在90年代也推动了指标理论的发展：为了做出算术黎曼洛赫定理，分析全纯挠率的性质，Bismut和他的合作者们发明了一套非常复杂的分析技术，叫做解析局部化。目前来看，这是一把屠龙宝刀。

2. 解析挠率最早来源于Ray-Singer70年代的文章，他们猜测在某些条件下这个解析挠率就是拓扑中能够区分同伦等价但不同胚流形的Reidermeister挠率。现在这叫做Cheeger-Mueller定理，后来在张伟平的博士论文中，这定理被Bismut-Zhang用解析局部化，微局部分析，Morse同调,…推广到了最一般的情形。

3. 80年代，当时还是概率学家的Bismut用概率方法（流形上的布朗运动，鞅，随机微分方程，Malliavin calculus,…）严格证明了指标定理。从而指标理论也与概率纠缠在了一起。上面1，2的分析中都大量用到了相当复杂的概率。

4. 90年代末指标理论技术被应用到了辛流形的几何量子化过程。参见匿名用户：什么是geometric quantization？

5. 也可以拿这把屠龙刀砍一砍复几何：Holomorphic Morse Inequalities and Bergman Kernels

6. 椭圆亏格，配分函数，前面好像有人说过了

7. 某几个可能正在潜水的家伙正在用指标理论做动力系统，

8. 表示论，Orbital 积分 https://press.princeton.edu/titles/9629.html

9. 量子霍尔效应（这是最近的工作了）

。。。。。。。

（真不喜欢做这样的罗列，挂一漏万是肯定的，而且后面三个其实我也不太了解）

我这里没有提Atiyah的工作，因为大家都查的到，全集有7卷。而且我们主要关注的是90年代以后的发展。微分几何和非交换几何我也不提了，这是指标理论的主要用武之地，大家也能猜得到，而且指标定理本身的研究在目前的非交换几何中也还有着地位（可惜Alan Connes的书当年没啃完。。）。我也没有提K理论相关（拓扑K，算子K，代数K, 算术K, 微分K），虽然这里有我正在做的方向，但这些也都是指标理论的传统方向。我这里提到的主要都是可能大家不太想得到的地方，目的为了说明：

指标理论现在是一个非常开放和多学科交叉的方向，是一个通向很多学科的交叉路口，从这个角度可以看到相当多学科之间的联系，还可以解决一些其他数学学科关心但解决不了的问题。我现在非常感谢我的各位老师朋友把我带到了这个方向，让我能够有机会从一个角度窥探到这么多的数学方向的美丽。

最后发现有位匿名的朋友又写了一个很奇怪的答案。从他的回答看，他应该没有仔细读过他提到的任何一篇文章，因为夸都没夸到点上。唉。可惜他把评论关掉了。但没关系，我的评论区会一直敞开的。