【组合数学】这个魔术有什么策略吗？ 第1页

由于全体魔术牌是连续的自然数，所以当观众拿走选牌时，必定会造成空缺。但是当观众把牌分两半分别交给A、B，这个空缺被隐藏在其他空缺中——A缺的牌在B手中，反之亦然。所以问题的难点在于如何将A与B手牌中的空缺编码为一张牌，然后交给C使其自行判断。

作为魔术师A或B，我们先将手中的牌升序排列：

然后将这些数字加起来：

当然这些数字太大，不存在这样的手牌，所以我们必须对这些大数进行处理，比如AB分别取若干不同的模运算浓缩为一个数，然后C利用中国同余定理还原AB的数字。

这里有一个技术细节：如果取模后，余数手牌不在手上怎么办？这个可以通过打手势进行约定。比如，我计算得到的数是4，但我只有手牌2与之最接近，那就拿食指中指这2根手指并拢捏住牌头，表示+2；如果手牌只有6与之最近，则用2根手指捏住牌尾，表示-2……或者其他类似的方式告诉C。

接下来的事情就很简单了。

首先把AB两个数都加起来，我们得到的就是所有的牌的和 减去观众拿的牌 ： ，那么显然所求就是 . 按照我们上面的例子计算：

于是得到 ，即为所求。

所以如何运用中国剩余法呢？

比如对于上例，我们取模数 ，于是AB两魔术师分别得到

如果我们现在是魔术师C，现在运用中国剩余定理求出 ，我们以 为例：

求出同余逆： ，即

即得

最后得 ，即

显然 ， 于是 即为所得。

接下来，我们研究如何让A和B可以分别通过一张牌，将各自的两个余数传递给魔术师C。

上文已经讨论了一个余数传递的方法，但是第二个余数该如何传递呢？利用花色。

有几个尖点，就是几。（刘谦在B站魔术课讲过。）

这几个余数够用吗？无论是模 或者模 ，显然余数不够多啊。我们可以利用负数表示——

比如我们想表示模 余 ，因为 ，我们可以把黑桃倒过来表示 ……如何表示余数为 ？我们可以将牌背面递给魔术师C。这样一来，我们可以表示任何情况了。

有几位网友说：你这打手势不好吧，牌又没说有花色……

我声明一下，我只是在构思一个可行的魔术表演，而不是单纯的做题。尽量去还原题主想实现的魔术效果，奈何本人能力有限，如果有大神能想到更好的方法，请分享出来，就别指责我没看题了。

总之别被题目条件所拘束了，开开脑洞也好啊。这个魔术如果严格遵循条件规规矩矩，很有可能是无解的，如果就此止步，岂不会错过更有趣的想法？

依题意，答案是仅在n=1时存在策略。下面证明n≥2时不存在策略。

（我在这里尽力讲得比较清楚详细，以便没多少数学基础的朋友也能完全理解，因而篇幅较长，一次看不完建议收藏）

首先假设n≥2时策略存在。

你现在是魔术师A。你看了看手里被发到的n张牌，审慎地选择其中一张，丢了出去。

设你已丢出的牌为a，B将要丢出的牌为b，而C手里的最后一张牌为c。那么，在已知a的情况下，只需要再知晓b，C就能判断出c了。

魔术师B的计算力很差，他在纠结。我们不妨多给他一些时间。

趁这时候，你的大脑开始了运算。“假如我看到了b，我能求出c吗？——哦对，我的信息量比C大，C能求出来我也一定能！”

你注意到这是一个函数关系，在已知你手里的n张牌的前提下，b决定了c。不妨写作b→c，或者f(b)=c，或者“b撅了c”。

你只知道自己手上的n张牌，因此在你看来c有n+1种可能的取值。“每种未来都是可能的”，你这么想着，脑海里出现了n+1个b→c的式子。显然这是个定义域与值域相同、且满足双射（一一对应）的函数。剩余n+1个b的取值，对应了n+1个c的取值。

但是，等等，它们之间有多少个“圈”？

比如3→5，且5→3，就构成了一个头尾相连、长度为2的“圈”。这个圈可以更长，比如1→2，2→4，4→1，长度为3，也可以简写作1→2→4→1。最长的情况下，则是n+1个数全体连成一个大圈。

这n+1个数必然要形成1个或多个圈，因为每个数在撅另一个数的同时也在被另一个数撅，没有头尾，只能成圈。同一组的b与c不能相同，不能自撅，故圈长至少为2。

这时你又意识到了一个问题：你与C目前的信息量不同，你所知的信息量是大于C的。C只知道你丢出的一张牌，而你知道n张。你可以根据自己拿到的n张牌确定a，C却不能根据这个a反推出你拿到的n张牌。

（也许存在某些a，可以推出n张牌，但不可能每个a都成立，因为n张牌的可能取值是多于一张牌的。并且考虑策略必须照顾到最坏的情况。这点会在后面详细说明）

C可以排除一些可能的c的取值，但不能像你一样排除掉n个那么多。因此在现在的C的脑海里，同样存在着函数b→c，但有不止n+1个式子。

C的函数在已知a的情况下成立。并且它与a是兼容的，你和C看到同一个b以后推测出的还是同一个c。因此这个函数与之前那个函数相比，原有部分不变，只是定义域和值域扩大了。（就像全体雏草姬之于银趴小团体）

并且“撅与被撅”的关系依旧保持了。即原有的“圈”没少，但多了其他的“圈”。

你把目光投向C，随即又虚心地移开了——他也在看着你。“他是不是暗恋我？不不不……他应该也是在推测我的想法吧！他不知道我的n张牌，但他知道我的函数有n+1个取值……等等，那他就可以从他的圈里边挑出一些，使得各圈长度之和为n+1，猜测这是我的函数。”

打个比方，n=2时，假设你拿到1和2丢出了2，那么在你的函数里，345应该组成一个大圈。而在C的函数里，同样存在着345的圈，且2已被排除、1单个不能成圈也排除，那么C的信息量实际上与你相等了。这是与先前结论矛盾的。

——所以n=2时不行。

（看到这里可以休息一下）

现在我们要用另一种方法（当然会用到之前的结论。这需要你把“圈”的概念搞懂。这些结论简单且实用，记一记没坏处），来把这个问题一网打尽。

之前说过，你可以通过n张牌推出a，C却没法通过a推出n张牌，最多只能猜测几种可能。

那么，C具体需要提出多少种可能？

现在请把你的人格代入C，并且把时间追溯到A出牌之前。现在A还未出牌，但你知道自己一旦知晓了a，就会自动生成b→c的函数，并且这里边包含了许多圈圈……

A手里的牌是2n+1里选n张，有Cⁿ₂ₙ₊₁种可能。a这张牌的可能取值则有2n+1种。显然，至少有一张牌对应了至少Cⁿ₂ₙ₊₁/(2n+1)种可能性。

也就是说，如果A打出的是那张牌，你就只能把对A手牌构成的猜测压缩到Cⁿ₂ₙ₊₁/(2n+1)种。不能再少了。

然而，在A打出a后，你的函数最多剩余2n个取值（排除a），它们最多组成n个圈，而只有长度之和为n+1的几个圈，才有可能是A视角里的函数。

我们不妨往大了算。假设总共就是n个圈，且每n/2个圈长度之和都为n+1，那我们可以用另一种方式猜测A的手牌构成：从中选n/2个圈，视为A视角里的函数取值。但这些圈里挑一半出来的组合数，最多最多也只有Cˣ₂ₓ种（x就是n/2……手机打字体谅一下）。

而n≥3的时候，Cⁿ₂ₙ₊₁/(2n+1)是恒大于Cˣ₂ₓ的。

一方面，你知道这张牌绝对代表着那么多种可能性；另一方面，你居然又能压缩得更少……那排除掉的可能性哪去了？A既可能拿着这些牌，又不可能……我疯了，你随意。

综上所述，n≥2时与题设矛盾，不存在成立的策略。并且我们这里甚至还没代入B的心理，也就是说，即使B可以先看a再给牌，依旧不存在策略……（这里其实我有点怀疑，可能有误，烦请高手指出）

而若要在现实中演绎，则可参考 @三川啦啦啦 的做法。

就酱。