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如何解方程 sin(cos(x))=x? 第1页

  

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这是一个很典型的不动点问题:设

则原方程可表为

并且 很好地满足不动点定理的条件:

于是只要不停地迭代就可得到结论:

选取初值 ,迭代 次后误差不超过 (见上图).


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由于 ,所以

原超越方程 可以改写成

将上式两边分别在 附近做Taylor展开,得

将 改写为

或者

可以构造迭代式

和初值 。迭代如下:

注:上面Taylor展开式保留项数越多,构造的迭代式收敛越快,但迭代式写法也越不优雅。


为了避免计算三角函数或反三角函数,可以采用级数来代替

因此,可以构造迭代式

和初值 。其中级数可以根据精度要求进行截断。


为了避免计算开根号,可以将原式改写成

或者

可以构造迭代式

和初值 。其中级数可以根据精度要求进行截断。




  

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