这个函数的不定积分是初等函数吗？ 第1页

这个煞笔答主坏掉了，若有疑问请先给他寄点钱（寄个妹子什么的也行

（强迫症的答主回来悄悄打补丁

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首先限定范畴为复数域上的函数。对初等函数的初等原函数存在性，有一只很强的Liouville/Ostrowski定理如下：

“设f属于某微分域K，E是K的初等扩域，若存在g∈E使得D(g)=f，则f是K中的Liouville和。”

*解释几个名词：

微分域：域K上的一个运算：D:K→K，若满足1)D(u+v)=D(u)+D(v)；2)D(uv)=D(u)v+D(v)u，则称D为K上的导子/导数运算，域K连同其导子D构成一个微分域。这里的微分域当然就是指某个一元函数空间与一般的求导运算构成的微分域。
以下一律以D(f)指对f求导。

微分扩域：若E是K的扩域，E上导子是K上导子的延拓，且{f∈E|D(f)=0} = {f∈K|D(f)=0}，则称E为K的微分扩域。

指数和对数：若D(v)=D(u)/u，则称v是u的对数，u是v的指数。

初等扩域：称E是K的初等扩域，若存在E的一系列子域满足，其中要么是的有限维代数扩域，要么存在是中某元素的指数或对数，使得。

Liouville和：在微分域K中，将能够表示成如下形式的元素f称为K中的Liouville和：，其中。

对于一般的一元函数研究对象，取微分域K为分式函数域C(X)。任何初等函数都可以由指数函数、对数函数和幂函数经过有限次四则运算和复合得到（三角函数和反三角函数可由指数函数和欧拉公式复合而成），如果将指数函数对应指数，对数函数对应对数，幂函数对应有限维代数扩域，四则运算对应域运算，复合操作对应域扩张，则C(X)的所有初等扩域可以涵盖复数域上所有初等函数。

对于一个初等函数f，它一定属于C(X)的一个微分扩域K'。显然，K'的初等扩域包括C(X)的初等扩域，因此任一初等函数亦包含在K'的某个初等扩域中。因此，这个定理在一元函数的情形下可以表示为：若f属于C(X)的某个初等扩域K'，且f有初等原函数，则f是K'中的Liouville和 ----- 推论①。

由于一般问题都是对于确定的f讨论其初等原函数的存在性，此时K'是可求的，因此这个定理实际上把难以描述的整个初等函数空间中的一件事限制在了确定、直观的K'中，大大缩小了研究范畴。

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回到原问题，显然，这属于Liouville/Ostrowski定理较简单的应用情形。由推论①不难得到一个推论②（Liouville判别法）：

“设f(x)为分式函数（以下在不引起混淆的情况下简称分式），则f(x)e^x有初等原函数当且仅当存在分式g使得f=D(g)+g。 称f=D(g)+g为Liouville判别式。”

证明留做习题。那么，对于题给函数的初等原函数存在性，直接套刘氏判别法，给出一个推导栗子（分割线以下）：

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假设存在初等原函数，则存在分式g使得。设，其中P、Q为多项式且互质。代入通分得

于是x|Q。考虑一个多项式T具有非零系数的最小次项的次数，记为λ(T)。

设λ(P)=m，λ(Q)=n，则由x|Q可知n≥1，又由P、Q互质可知m=0。于是

由(1)式，2n=n，故n=0，与n≥1矛盾。故不存在初等原函数。

对于形如的函数，用反证法和数学归纳法结合不定积分和上述结论易知其同样不存在初等原函数。