定积分中值定理依结论的强弱有两个稍微不同的版本:
Version 1.0 若 则
Version 2.0 若 则
上述两个版本的差别,仅仅在于对 存在的区间断定有所不同,1.0版本断言的是闭区间,2.0版本断言的是开区间。由于后者可以在逻辑上蕴含前者,给出的 位置更为具体,因此,2.0可以视为1.0的加强版。
为何会出现这样两个不同的版本呢?原因是大多数教材的处理方式。1.0版本是在引入微积分基本公式(即Newton-Leibniz公式)之前就用连续函数的介值定理推证出来的,而介值定理的结论较弱,它无法排除 在区间端点的可能性。而2.0版本是在引入微积分基本公式之后,借助变上限积分函数的构造,用Lagrange中值定理证得的,它挖掘出更多的信息作为条件,因此就让结论升级。