如何证明求导是线性变换? 第1页

先回顾什么是线性空间

一个( -)线性空间指一组 ，其中 是集合, , , 是函数，满足

1. (associativity)
2. (identity)
3. (invertibility)
4. (commutativity)

(注意其中前四条是abelian group)

易验证若 并且 ， ，则 也是线性空间，称为 的子空间。

给定线性空间 ， ，一个线性变换指函数 满足

(上述三条其实是Model homomorphism，2是group homomorphism，所以2推出1，一般定义均省略了1）

在处理求导运算之前，我们先处理一个由函数构成的集合，然后我们添加一些运算使它形成线性空间。

假设 是一个集合， 是一个线性空间，定义 是所有从 到 的函数，即

注意，任何 都要被理解为 的函数，即给定 , 都可以得到 。 在这里我们定义一个集合是所有的函数，初学者一定要好好理解这个概念。反之，为了决定 中的元素，我们可以通过对所有 定义一个 来定义一个 。类似的，若要验证两函数 相等，我们只需验证 。(集合论定义，在利用Topoi、Types定义的逻辑体系里并没有这层关系)。

接下来定义 和 ，使得 变成线性空间(为区别 中的运算，用 来标明 中线性空间的运算)。 给定 ，我们要定义 ，即一个 的函数，对于任意 ，定义 ，我们验证一下结合律 ，对于所有 ,

故有 。类似地，对于 ，定义 . 易验证 是一个线性空间。

接下来我们考虑一些“带有结构”的集合 令 是所有 上的连续函数，则若 在 点处连续，则 也在 处连续。同理数乘也保持连续，故 是 的子空间。

假设 是一个非空开集，考虑所有 上在 处可导函数的集合 。则在 处导数 是一个线性映射。

先验证 是一个线性(子)空间。假设 ， ，即 在 处可导，则显然 也在 处可导（证明和下方的线性证明雷同），故 是子空间。 再验证线性：

进一步扩展 是所有在 中每一点中都可导的函数，则 , 也是一个线性函数， ，故 ，数乘同理。

若 是非空开集，定义集合 为所有任意阶导数存在的函数，则 是一个线性变化。注意有

最后这个尤为重要，对于一个光滑Manifold (现在可以直接理解为 的某开子集)而言，在某点 满足 Leibniz's rule( )的所有线性函数构成此点的导数空间 ，它和切空间等同，它自己也形成一个线性空间。可以证明这个空间上面的基是 ，即满足Leibniz's rule的线性映射都是方向导数。进一步地，微分是把某个流形上切向量(导数)映射到另一个流形上切向量的线性映射。

以上即对导数线性的理解。