多元函数有单调性吗？ 第1页

其实问题的根本在于，如何比较向量的大小。一般而言，比如复数 之间是不能比较大小的。如果我非要这么做呢？

简单的想法

大小，或者说“全序关系”，具有单一方向性：谁更接近正方向，谁就大。比如在一个一维流形上的局部总可以赋予一个全序关系。比如选取一条曲线：

那么即可定义一个复合函数：

于是我们可以在局部讨论 的单调性.

但是这样一来，我们只是给 的一个一维子流形上赋予了全序关系，并没有实现全局上的全序关系。

也许可以考虑充满空间的皮亚诺曲线。

但是真正的皮亚诺曲线长度是没有意义的，所以想继续按照上面的思路构造一元函数进而讨论单调性，是太天真的想法，（同时，皮亚诺曲线并不符合流形的定义，不仅不满足 Hausdorff 分离性，并且也不是一维的）. 因为对于绝大多数的点（全测集），皮亚诺曲线要想经过该点，在有限长度内达到是绝对不可能的. 这就意味，在这种意义下的单调函数几乎处处是常值函数.

字典排序法

所谓字典排序法，顾名思义不用解释。例如，我们常见的十进制小数比较法，本质上就是一种字典排序. 同理，我们可以把一个向量当做是广义上的“小数”：

从最高位 逐级比较，直至从某一位开始能分出大小即停止比较.

例 是一个字典排序法意义下的单调递增函数.

大结局

或曰：这个函数不严格单调.

答曰：臣告退……