数值分析中割线法的收敛阶是如何证明的? 第1页
1
zhou-hao-cheng-30 网友的相关建议:
考虑我们对于零点求解问题 利用割线法得到一列两两不同的零点估计值 ，此函数 的精确零点为 。不妨假设 具有充分好的光滑性且割线法收敛，即 ，且 （ 为一个一阶零点）
则有：
要考虑收敛阶，我们自然地考虑误差 ：
计算：
则
令 ，由 充分光滑， ，得到：
。
这是因为：我们可以定义映射 ，则由 充分光滑， 在 处连续且可导，且 （Taylor）。
不妨假设收敛阶为 ，即 。
则 ，故 。
故 为非零常数。
结合上面关于 的求解，得到 。（这里之所以是大于等于是因为 可能为零）
故解得 。
得到结论：在 光滑性充分好、割线法收敛且精确零点 为一阶零点的情形下，收敛阶至少为 。当然题主可以自行地削弱 所需要满足的光滑性条件来得到更强的结论，但是大致的思路是相同的。值得注意的是：割线法类似于牛顿法，当 为高于一阶的零点时，收敛阶数可能退化，在上面的证明中我们也能够容易地看出这一点。
1
相关话题
如何解决这个函数极限的证明问题？你最钦佩的数学天才是谁？
有没有这样的函数，其一阶导等于1，二阶导等于2，三阶导等于3，n阶导等于n，n一直趋于无穷大？
为什么 1-1+1-1+1-1…=0.5？
在哪里排队最有可能中奖？
如何证明一阶导数的上确界的平方小于等于原函数的上确界乘以二阶导数的上确界的二倍？
如何看待谭泽睿的《在平移素数数列中的无平方因子数》？
如何从初一开始努力考上合肥168中学（省内知名高中）？
存在一点的极限值不等于该点的函数值吗？
这个极限怎么证？
前一个讨论
有哪些看起来很难但做起来很简单的数学题？
下一个讨论
为什么我用欧拉公式得出了i=0？
相关的话题
如何求这个表情包里的的极限？一元微分理论中，为什么 d(dy/dx)/dx=d^2y/(dx)^2 ？
如何评价知乎用户@Aries？
历史上，近世代数中环和域的概念是怎样逐步建立的？
什么叫「具有扎实的数学基础」？
如何让普通人明白数学有多复杂？
i²＝-1几何意义是什么？
LU分解法与Gauss消元法两者复杂度的比较，谁跟快？
有哪些适合入门且较全面的运筹学书籍可以推荐一下吗？
如何看待清华大学数学新领军计划和丘班综合测试？
收敛的序列是否存在单调的子序列（不要求严格单调）？
请问此题如何做，请尽量用多种方法求极限？谢谢。？
有什么学习数学的好网站？
这道复变函数的证明题怎么做？
如何完成这道数学序列证明题？
n的正因子个数d(n)有没有上界公式？
数学的泛函分析应该怎么学？
如何评价 EPFL 数学博士后 Anna Kiesenhofer 夺得东京奥运会女子公路自行车金牌？
为什么辛普森法函数值的系数是这样？
有哪些物理系鄙视数学系的经典桥段？
两个数的差取整等于两个数先取整再做差吗？
自然科学和唯心主义是矛盾的吗？
如何严谨地证明 0.9999…=1？
黄金分割数1.618的6次方及更高次幂为什么如此接近整数？
这个极限要如何计算？
物理学与数学在思维方式上有什么本质区别？
如果炸弹每秒钟爆炸概率提高一点，从数学期望上来看最有可能在哪一秒爆炸？
为什么研究生阶段有一大堆 EE 转 CS 的但却很少听说有 CS 转 EE 的？
今年复活节应该是3月28号，网上怎么都说是4月4号的呢？春分后第一月圆后的第一礼拜天，怎么是4月4号？
什么是实数？