数值分析中割线法的收敛阶是如何证明的? 第1页
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考虑我们对于零点求解问题 利用割线法得到一列两两不同的零点估计值 ，此函数 的精确零点为 。不妨假设 具有充分好的光滑性且割线法收敛，即 ，且 （ 为一个一阶零点）
则有：
要考虑收敛阶，我们自然地考虑误差 ：
计算：
则
令 ，由 充分光滑， ，得到：
。
这是因为：我们可以定义映射 ，则由 充分光滑， 在 处连续且可导，且 （Taylor）。
不妨假设收敛阶为 ，即 。
则 ，故 。
故 为非零常数。
结合上面关于 的求解，得到 。（这里之所以是大于等于是因为 可能为零）
故解得 。
得到结论：在 光滑性充分好、割线法收敛且精确零点 为一阶零点的情形下，收敛阶至少为 。当然题主可以自行地削弱 所需要满足的光滑性条件来得到更强的结论，但是大致的思路是相同的。值得注意的是：割线法类似于牛顿法，当 为高于一阶的零点时，收敛阶数可能退化，在上面的证明中我们也能够容易地看出这一点。
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