康托尔著名的对角线证明？ 第1页

其实很多这些反驳的人，他们没有意识到，他们的“反驳”在于他们的数学哲学立场不同。比如他们实质上是在反对实数的构造方法，比如不承认戴德金分划，或者无限小数的构造方法。那么因为他们反对了实数的构造法，对他们而言，实数就是一个没有定义的东西，[0,1]区间也是一个没有定义的东西，[0,1]里面的元素可不可数也就不是一个有意义的问题。

哲学立场差异无所谓对错，ultra-finitists甚至反对任何无穷集合的存在，比如他们认为自然数不应该构成一个集合，那么对他们而言连“可数”这个概念都是没有意义的。ZFC其实也选取了某种哲学立场，比如著名的分离公理，实际上也是对“集合”这个概念的一种限制条件（这个公理的目的是为了避免罗素悖论）。既然主流数学可以提限制性的公理，那么一部分人要求提更强的限制公理也是很正常的。确实有数学家心理上就抵触“无穷”这个概念，觉得对无穷的讨论让人不舒服。

但是反对某种哲学立场，不意味着 持这种哲学立场的人，在自己的框架内就不能讨论自己关心的问题。ZFC框架下建立实数理论，然后讨论实数集合的不可数性，这个完全是合法的（valid）；康托尔的证明也是完全符合ZFC公理和基本的逻辑公理的。你不能因为自己反对实数定义就不允许别人讨论实数，这也太霸道了。。当然有人不是真的反对实数构造，大部分人只是没有理解实数构造（比如很多人没想清楚，无限小数到底是什么样的数；因为他们没正确理解无限小数，导致他们会写出0.0000..(无限个0)01这样的数）。但不管是没有理解，还是理解了之后表示反对，都只能代表你自己的立场，不代表接受这种立场的人不能在这个框架内做自洽的逻辑推导。