既然负数开平方可以拓展出一个复数系，那 1/0 也可以拓展出新的数系吗？ 第1页

那不叫新的数系，那叫空间的紧致化，是一个几何模型。

简单来说，实轴 加上1/0可以赋予一个自然的拓扑，使得它同胚于一个圆周，因此是紧致空间。复平面 加上1/0能变成一个球面，也是紧致的，通常叫它“复球面”。

这些空间可以给它们再赋予一些流形结构，即在它们每点处确立一个局部坐标系，或者说是用若干个带坐标的区域(简称“坐标图册”)去覆盖整个空间，当然区域重合的地方两边的坐标之间可以不一样，但得有个兼容性转换，这个转换是由一个欧式空间之间的双射给出的，且这个双射的可微性就确立了这个流形结构的光滑程度。等等诸如此类的概念，我暂时就不扯远了。

一个比较常用的模型就是射影空间，比如说 ，它就是在上述“ ”空间上赋予这样一个坐标图册：在 上坐标和 一样，在0以外包括1/0的区域取倒数坐标（所谓赋予坐标，其实就是给出这个区域到 中某个开集的一个同胚映射）。当然 还有别的描述，比如，在平面 上取一个单位圆周，并且对这上面的点来定义一个等价关系（对径点相互等价），然后 就定义为全体等价类构成的空间，它的拓扑结构可由 来诱导，流形结构则是先在这个圆周上确立（分成4个半圆，坐标取x/y或y/x），再作商给出，可以证明它和上面的“ ”在光滑同胚的意义下是一样的，具体我就不多说了。此外不难看出， 恰好刻画了平面上过原点的直线全体。