正三棱锥内切球的四个切点（两类）分别在三角形的什么位置？ 第1页
1
liu-yang-zhou-23 网友的相关建议:
设正三棱锥 的高 ，底面边长 ， 为球心的内切球关于 的切点为 。各种辅助线如图。
容易计算 ， ， , , ;
由相似 , 于是有
得到了 三边，建立坐标系的时候就很好确定切点 的位置了。
最后我们看看 与 的关系。
由几何关系可知 位于 的角平分线上。于是
,
由半角公式
又
于是得到
最后给一个正四面体切点位置的证明。
引理（切线长定理） 球外一点做两条切线，切线长总相等。
这个引理有一个非常自然的推论：
推论 若球外两点到球心的距离相等，则过两点关于球面的切线长相等。
有了这个结论，证明就是很显然的事情。
命题 正四面体内切球的切点是四面体各个面上的重心。
证：对于正四面体 ，设内切球关于 的切点为 ，由于 同时为 的三个顶点关于内切球的切线长端点，并且这三个顶点到内切球心的距离相等，于是由引理推论，此三者到 的距离相等，即 ，故 是 的外心，但是 同时也是等边三角形，于是外心与重心重合。
1
相关话题
什么是主动学习（Active Learning, AL）？围棋黑子贴7.5目，有数学理论依据吗？
微分流形与黎曼几何有什么关系？
π的1997次方的小数点后1997位是多少？
数系从有理数扩充为实数的跨越有无产生一些问题？
中国在数学领域让你最引以为豪的成果是什么？
数学和英语是不是高中最难的科目？
两条直线真的画不出一个圆吗？
请问如何求这两个数列的通项公式？
中文在数学表达上是否处于劣势？
相关的话题
为什么 sp³d 杂化形成的是键角不等的三角双锥？物理定律能否脱离物理研究过程，直接通过数学演绎发现？
下面的组合等式是否恒成立？
一个半径为1的圆周上有三个点，求三个点构成的图形的面积的期望值？
随机取牌算不出 24 点的概率是多少？
百度上找了个门萨做了一下 我平时数学考不及格 数学要怎么学?
如何形象地理解矩阵的相似与合同？
你们学习的时候是怎样理解数学推导过程的？
高考数学最后一题可以有多难？
丁同仁常微分方程第二版2.2第五题怎么解？
法国的数学水平那么强，为什么在 IMO 上的成绩却很一般？
中学阶段解出一道很难的数学题和在数学研究领域做出重大突破的区别在哪？
数学理论上可不可以绝对识别ps过的照片（可以作为法律证据的）？
哪里找一些有难度的定积分题？
如何看待国际数学联盟发表声明，取消在俄罗斯圣彼得堡线下举办国际数学家大会？其它国际组织会跟进吗？
数列的极限定义，为什么我证明是错的?
初三了，数学不及格，想问一下如何训练数学六大素养?
为什么文科生要学数学，高中数学有什么用？
这个数学问题有解吗，有哪些好的处理思路？
个别情况下概率是无实际意义的吗？
△ABC中，tanA＋tanB＋tanC＝tanA·tanB·tanC有没有优美直观一点的几何证明？
对任意无理数，都存在有理数列趋近于这个无理数，为什么，怎么找这个有理数列？
为什么欧几里得在《几何原本》中的第四公设要设定所有的直角都相等？
怎么做2022贺年题？
为什么三点决定一个圆，而圆规只需两点就决定了一个圆？
标记 n 维空间中任意一个点/向量一定要用 n 个坐标吗？
在边长为 1 的正方形中随机取三个点，构成三角形的面积期望是多少？
高中概率题：地区明天下雨的概率是0.8，天气预报准确性为0.8，天气预报说明天会下雨。求明天下雨概率？
二维空间的封闭是圆，三维空间的封闭是球，四维空间的封闭是什么？
为什么算数不等式叫算数不等式，几何不等式叫几何不等式?