正三棱锥内切球的四个切点（两类）分别在三角形的什么位置？ 第1页
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liu-yang-zhou-23 网友的相关建议:
设正三棱锥 的高 ，底面边长 ， 为球心的内切球关于 的切点为 。各种辅助线如图。
容易计算 ， ， , , ;
由相似 , 于是有
得到了 三边，建立坐标系的时候就很好确定切点 的位置了。
最后我们看看 与 的关系。
由几何关系可知 位于 的角平分线上。于是
,
由半角公式
又
于是得到
最后给一个正四面体切点位置的证明。
引理（切线长定理） 球外一点做两条切线，切线长总相等。
这个引理有一个非常自然的推论：
推论 若球外两点到球心的距离相等，则过两点关于球面的切线长相等。
有了这个结论，证明就是很显然的事情。
命题 正四面体内切球的切点是四面体各个面上的重心。
证：对于正四面体 ，设内切球关于 的切点为 ，由于 同时为 的三个顶点关于内切球的切线长端点，并且这三个顶点到内切球心的距离相等，于是由引理推论，此三者到 的距离相等，即 ，故 是 的外心，但是 同时也是等边三角形，于是外心与重心重合。
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