请问为什么 sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，有没有详细推导呢？ 第1页

其他人的回答已经足够解决这个问题了，但是我这里想给一个稍微不同的回答。我这里将问题做一个推广。这个问题我读本科的时候曾经在草稿本上写过，这里将它正式发布出来。希望可以对题主有所帮助。

我的问题：假设有两个光滑的一元实函数 对于任意的实数 都满足这样的条件

请问这样的函数应该具有什么样的形式？

这是一个函数方程组，显然是模仿着三角函数写出来的。我当时的想法是试图证明，满足这两个条件的光滑函数只有正弦和余弦函数。但是结果并非如此。结果如下。

令 ，得到

根据第一个条件，如果 ，则 ，此时 是一个虚数，不符合条件，所以只能得到 .

根据第二个条件，得到 . 也就是 .

令 ，得到

如果 ，则 ，这是一个平庸解，所以为了得到非平庸解，只能令 .

函数方程组两边同时对 求微分，然后令 ，得到（备注：实际上就是在计算李代数）

写成矩阵的形式为

求解得到

其中定义了系数矩阵

如果进而要求 ，则可以得到

但是如果不做这个要求，则可以得到更加普遍的结果，所以满足这个函数方程组的未必是三角函数。

这个更加普遍的结果是

本质上就是一个三角函数乘上一个指数函数。所以我一开始的猜测尽管不对，但是也差不太远。

再说一下计算 的技巧。定义 ，则可以将 记作

要计算这个矩阵的指数函数 ，最直接但也是最繁琐的方法就是计算它的特征值和特征向量，将矩阵 对角化，然后求矩阵的指数。为了减小计算量，可以充分利用矩阵的特性，将其写为这种形式：

其中 ， .

又因为 ，所以

第一个矩阵指数很容易算出来为

第二个矩阵指数可以通过求 矩阵的特征分解得到，但是这样仍然很繁琐。简单的方法是计算 矩阵的幂。根据Cayley-Hamilton定理^[1]，很容易得到

因此，

所以

因此最终得到

参考

1. ^Cayley–Hamilton theorem https://en.wikipedia.org/wiki/Cayley%E2%80%93Hamilton_theorem