有一个三位数密码锁，如果输入的三位密码有1位是正确的，就会嘀一声响，请问最少要输入几次才一定能开锁？ 第1页

这道题启示我们，可以用几何的眼光看问题！

我们把密码组合放在一个三维直角坐标系中，密码的三个数位分别对应三个坐标轴，于是所有密码集合就变成了坐标系中一个10*10*10的立方点阵，每个三位数密码都表示成三维坐标有序数对。

假设正确密码为672，那根据题目要求，意味着所有在x＝6或y＝7或z＝2这三个平面上的点按到以后就会发出滴的响声，因为这三个平面上的点至少有一位是正确的。

这时候，问题就演化成了，如何最快探测到这三个面。那么问题就简单多了，这不就是体对角线吗！

一个体对角线必过这三个垂直于坐标轴的平面，且速度最快，最多10个点就扫描完成，共输入10次。但还有一个问题需要注意，虽然探测到了三个面的位置，但还并不知道每个面分别垂直于哪一条轴，也就是不知道密码正确数字处在那一位。

这时候就要通过额外工作确认每个面对应的坐标轴。选取一个面和体对角线的交点（探测点），分别改变这一点其中的两个坐标，看是否听到滴声即可确定该面垂直于哪条坐标轴。此步至多输入2次。

第二个面就剩下两个坐标轴可选，改变其中一个坐标即可确认该面对应坐标轴。此步输入1次。最后一个面也随之确定了。

（如果有两个面对应坐标相同，即体对角线过两面交线，输入次数相同，只需看是哪两个面相交即可判断）

（如果体对角线恰好过三个面相交点，那都不用再试了，密码直接就是它了）

综上所述，最多一共需要输入10+2+1＝13步即可得出正确密码。如果算上最后一步输入正确密码的话，就是14次。

前面有些回答也是从000，111，到999试起，其实原理与此相通。如果想另辟蹊径换一条体对角线，从090，181，272，……909这样试，其实也未尝不可。

按照这方法还可以类推四位密码，10+3+2+1＝16，算上最后一步17……其实也没有差很多。

为了方便理解我还随手画了个图，结果画着画着把我自己都画晕了，随便看看就好了。。。其中蓝色的是三个面，大红点是三面交点即正确密码，红蓝结合虚线是探测路径体对角线。

这手画也太难了⑧

更新了另一个从几何看问题的回答，手画就是灵魂！

估算一个上界。思路是每一轮都寻求一条最短线段，将当前包含天使的多边形，按面积等分成两个新的子多边形。再假设天使的运气足够好，每次都瞬移到等分效率较低的子多边形。

直观看出，取平行于正三角形一条边的线段来等分其面积，等分效率最高。令此线段长度 ，三角形边长 ，则：

这样，初始正三角形被分成一个新的小正三角形和一个等腰梯形，易见等腰梯形的等分效率远高于新的小正三角形，于是根据假设，天使将瞬移到新的小正三角形当中。如此循环，至于无穷，天使将被锁定在初始正三角形的一个顶点。计算魔鬼走过的耗时路程：

记魔鬼速度 ，则捉住天使的时间：

这个题目如此离散，不借助于数值离散优化不易得到全局最优解，建议大家来改进这个上界吧。

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按照 @yyx 说的圆弧线等分正三角形以及后续的扇形，上界可以改进为：

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估算一个上界。思路是每一轮都寻求一条最短线段，将当前包含天使的多边形，按面积等分成两个新的子多边形。再假设天使的运气足够好，每次都瞬移到等分效率较低的子多边形。

直观看出，取平行于正三角形一条边的线段来等分其面积，等分效率最高。令此线段长度 ，三角形边长 ，则：

这样，初始正三角形被分成一个新的小正三角形和一个等腰梯形，易见等腰梯形的等分效率远高于新的小正三角形，于是根据假设，天使将瞬移到新的小正三角形当中。如此循环，至于无穷，天使将被锁定在初始正三角形的一个顶点。计算魔鬼走过的耗时路程：

记魔鬼速度 ，则捉住天使的时间：

这个题目如此离散，不借助于数值离散优化不易得到全局最优解，建议大家来改进这个上界吧。

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按照 @yyx 说的圆弧线等分正三角形以及后续的扇形，上界可以改进为：

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