1×0＝0 是因为 0 乘以任何数字都等于 0，还是因为 1 乘任何数字都等于那个数？ 第1页

在一个环里，1是乘法单位元，0是加法单位元。假设这个环不是零环，那么1和0就是两个不同的元素。

因为环在乘法下是幺半群，所以对于任意的元素a，a×1=a=1×a是环的公理。由此可得第一种证明思路：取a=0，则0×1 = 1×0 = 0。

第二种证明思路依赖于a×0=0=0×a这个性质，该性质可以直接由环的公理（包括a×1=a=1×a）推导得出：

a×0 = a×0 + 0 = a×0 + (a + (-a)) = (a×0 + a) + (-a) = (a×0 + a×1) + (-a) = a×(0+1) + (-a) = a×1 + (-a) = a + (-a) = 0

0×a = 0×a + 0 = 0×a + (a + (-a)) = (0×a + a) + (-a) = (0×a + 1×a) + (-a) = (0+1)×a + (-a) = 1×a + (-a) = a + (-a) = 0 = a×0

值得注意的是，这种证明只需要用到环的公理，不需要假设乘法交换律或乘法的逆运算。

于是，取a=1，则0×1 = 1×0 = 0。

综上所述，两种思路都可以证明，但第一种直接用公理，步骤略少一些。

如果这种证明无法解决题主的疑惑，那么我就再提供一个因果关系角度的分析。「E是因为C1，还是C2？」这样的问句往往在询问实际原因（actual cause）。例如，「已知以下三种状况同时存在，车祸的原因到底是司机酒驾，还是雨天路滑，还是刹车故障？」题主的问题，在哲学里被称为symmetric overdetermination：列出的任何一个因都能造成这个果。

寻找实际原因的过程，通常也是寻找责任（道德责任或法律责任）的过程。但是，我个人不推荐用因果关系的思维解决数学问题。因为，数学中的证明（proof）、蕴含（entailment）、实质条件（material conditional）都是有良定义的概念，学过数理逻辑就可以理解。可是，现实中的因果关系并没有一个被普遍接受的良定义。

在学习因果关系的过程中，我时常会提醒自己：能用严谨的数学语言描述的问题，就不必要加入「因果」这样模棱两可的词汇。例如，identifiability of linear non-Gaussian additive noise model尽管被称为一个「因果识别」问题，它的实际定义并不包含任何「因果」的成分，用数学就能完美描述。

所以，我先前把题主问题中的「因为」转化成了「可证明」进行论述：

1. 从公理「1 乘任何数字都等于那个数」，我们可以证出「1×0＝0」；
2. 从性质「0 乘以任何数字都等于 0」，我们也可以证出「1×0＝0」；
3. 从公理「1 乘任何数字都等于那个数」以及环的一些其他公理，我们可以证出性质「0 乘以任何数字都等于 0」。

补充：在半环里，「0 乘以任何数字都等于 0」和「1 乘任何数字都等于那个数」都是公理。

本来随手答的一道题，没想到上热榜了。原来的证明虽然没有错，但是没有用最少的公理。这里重新证一遍a×0=0：

a×0 = a×(0+0) = a×0 + a×0

a×0 + (-(a×0)) = (a×0 + a×0) + (-(a×0))

0 = a×0 + (a×0 + (-(a×0)))

0 = a×0 + 0

0 = a×0

0×a=0的证明同理，但需要用到右分配律。

到此为止，仅用了分配率、加法结合律、加法逆运算、加法单位元。对于任何满足上述公理的代数结构，a×0=0×a=0都是成立的。

同时，我一开始就把1理解为了乘法的双边单位元，所以在任何有1的代数结构里，应该都有公理a×1=1×a=a。